1a. Prova Fundamentos de Mecanica (25 pontos)
Uma particula se encontra na posição \mathrm{r}_{\mathrm{o}}(\mathrm{t}=0)=(2,0 \mathrm{~m}) \mathrm{i}+(5,0 \mathrm{~m}) \mathrm{k}, e Questão 2 (5 pontos) velocidade inicial v_{0}(t=0)=(10,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}) j. Se a equação da aceleração no tempo é a (\mathrm{t})=-\left(2,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}\right) \mathrm{j}+\left(6,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{3}\right) \mathrm{t} \mathrm{k}
(a) Determine a equação da velocidade \mathrm{v}(\mathrm{t});
(b) Determine a equação da posição r(t);
(c) A velocidade da partícula em \mathrm{t}=10,0 \mathrm{~s};
(d) A posição da partícula em \mathrm{t}=10,0 \mathrm{~s}.

Passo 1

O enunciado dá a aceleração dependente do tempo
\mathbf{a}(t) = -2\,\mathbf{j} + 6\,t\,\mathbf{k},
a velocidade inicial em t=0
\mathbf{v}(0)=10\,\mathbf{j},
e a posição inicial em t=0
\mathbf{r}(0)=2\,\mathbf{i}+5\,\mathbf{k}.
O conteúdo aqui é cinemática vetorial: basta integrar \mathbf{a}(t) para obter \mathbf{v}(t) e depois integrar \mathbf{v}(t) para obter \mathbf{r}(t), aplicando as condições iniciais.

Passo 2

Integramos componente a componente para achar \mathbf{v}(t).
Para \mathbf{i}: a_i=0, logo
v_i(t)=C_i,\quad C_i=v_i(0)=0.
Para \mathbf{j}: a_j=-2,
v_j(t)=\int -2\,dt=-2t+C_j,\quad C_j=v_j(0)=10,
então v_j(t)=-2t+10.
Para \mathbf{k}: a_k=6t,
v_k(t)=\int 6t\,dt=3t^2+C_k,\quad C_k=v_k(0)=0,
logo v_k(t)=3t^2.
Portanto
\mathbf{v}(t)=0\;\mathbf{i}+(-2t+10)\,\mathbf{j}+3t^2\,\mathbf{k}.

Passo 3

Integramos \mathbf{v}(t) para achar \mathbf{r}(t).
Para \mathbf{i}: v_i=0
x(t)=C_x,\quad C_x=x(0)=2,
logo x(t)=2.
Para \mathbf{j}: v_j=-2t+10,
y(t)=\int(-2t+10)\,dt=-t^2+10t+C_y,\quad C_y=y(0)=0,
então y(t)=-t^2+10t.
Para \mathbf{k}: v_k=3t^2,
z(t)=\int3t^2\,dt=t^3+C_z,\quad C_z=z(0)=5,
logo z(t)=t^3+5.
Assim
\mathbf{r}(t)=2\,\mathbf{i}+(-t^2+10t)\,\mathbf{j}+(t^3+5)\,\mathbf{k}.

Passo 4

Avaliamos \mathbf{v}(t) em t=10:
v_i(10)=0,\quad v_j(10)=-2\cdot10+10=-10,\quad v_k(10)=3\cdot10^2=300.
Logo
\mathbf{v}(10)=-10\,\mathbf{j}+300\,\mathbf{k}.

Passo 5

Avaliamos \mathbf{r}(t) em t=10:
x(10)=2,\quad y(10)=-10^2+10\cdot10=0,\quad z(10)=10^3+5=1005.
Logo
\mathbf{r}(10)=2\,\mathbf{i}+0\,\mathbf{j}+1005\,\mathbf{k}.

Resposta

(a) \mathbf{v}(t)=(-2t+10)\,\mathbf{j}+3t^2\,\mathbf{k}.
(b) \mathbf{r}(t)=2\,\mathbf{i}+(-t^2+10t)\,\mathbf{j}+(t^3+5)\,\mathbf{k}.
(c) \mathbf{v}(10)=-10\,\mathbf{j}+300\,\mathbf{k}.
(d) \mathbf{r}(10)=2\,\mathbf{i}+1005\,\mathbf{k}.

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