Determine \lambda de modo que o sistema homogêneo \left(A-\lambda I_{2}\right) X=0 seja SPI, onde A é dada por A=\left[\begin{array}{cc}3 & 1 \\\\ -1 & 1\end{array}\right], I_{2} (matriz identidade) e X (matriz
das incógnitas).

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = \begin{pmatrix}3 & 1\\[6pt] -1 & 1\end{pmatrix}
e pede os valores de \lambda tais que o sistema homogêneo
\bigl(A - \lambda I_{2}\bigr)X = 0
seja SPI (possível e indeterminado), ou seja, tenha infinita solução. Para isso, precisamos que
\det\bigl(A - \lambda I_{2}\bigr) = 0.]

Passo 2

Vamos montar a matriz A - \lambda I_{2}:
A - \lambda I_{2} = \begin{pmatrix} 3 & 1\\[4pt] -1 & 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \lambda & 0\\[4pt] 0 & \lambda \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 - \lambda & 1\\[4pt] -1 & 1 - \lambda \end{pmatrix}.]

Passo 3

Calculamos o determinante de \,A - \lambda I_{2}:
\det\bigl(A - \lambda I_{2}\bigr) =(3-\lambda)(1-\lambda)-(-1)\cdot1 =(3-\lambda)(1-\lambda)+1.
Desenvolvendo,
(3-\lambda)(1-\lambda)+1 =3 -3\lambda -\lambda +\lambda^2 +1 =\lambda^2 -4\lambda +4.

Passo 4

Impondo \det(A-\lambda I_{2})=0, temos
\lambda^2 -4\lambda +4 =0.
Esta é uma equação quadrática cujo discriminante é
\Delta = (-4)^2 -4\cdot1\cdot4 =16 -16 =0,
logo a única raiz dupla é
\lambda = \frac{4}{2} = 2.

Resposta

\lambda = 2

Exercícios relacionados