Seja R a região plana limitada por y=\arcsin (x), y=\arcsin (-x) e x=-1. Se a densidade é \rho(x, y)=k,(k>0 ), então a massa e o centro de massa de R são dados, respectivamente por:
Escolha uma opção:
a. \quad(\pi+2) k e \left(-\frac{\pi}{4 \pi-8}, 0\right)
b. Nenhuma das Respostas
c. (\pi-2) k \mathrm{e}\left(-\frac{\pi}{4 \pi-8}, 0\right)
d. \quad(\pi-2) k e \left(\frac{\pi}{4 \pi-8}, 0\right)
e. \quad(\pi-2) k e \left(-\frac{\pi}{4 \pi+8}, 0\right)

Passo 1

O enunciado pede a massa e o centro de massa da região R limitada por
y = \arcsin(x), \quad y = \arcsin(-x) = -\arcsin(x), \quad x = -1,
para a qual a densidade é constante \rho(x,y)=k.
Vamos usar integrais duplas em coordenadas cartesianas e aproveitar a simetria em relação ao eixo x para simplificar.

Passo 2

Para encontrar a massa m calculamos
m = \iint_{R} \rho\,dA = k \iint_{R} dA = k \cdot (\text{área de \(R\)}).á
Como R em \{(x,y)\mid -1\le x\le0,\;\arcsin(x)\le y\le -\arcsin(x)\}, a área é
\int_{x=-1}^{0} \bigl[-\arcsin(x) - \arcsin(x)\bigr]\,dx = -2\int_{-1}^{0}\arcsin(x)\,dx.
Usando
\int \arcsin(x)\,dx = x\arcsin(x)+\sqrt{1 - x^2},
avaliamos de -1 até 0:
em x=0 1, e em x=-1 \frac{\pi}{2}. Logo
\text{área} = -2\bigl(1 - \tfrac{\pi}{2}\bigr) = \pi - 2.á
Portanto
m = k(\pi - 2).

Passo 3

Pela simetria de R em relação ao eixo x, o momento está em torno do eixo y se anula, garantindo
y_c = 0.

Passo 4

O abscissa do centro de massa é
x_c = \frac{1}{m}\iint_{R} x\,\rho\,dA = \frac{k}{m} \int_{x=-1}^{0}\!\!\int_{y=\arcsin(x)}^{-\,\arcsin(x)} x\,dy\,dx = \frac{k}{m}\int_{-1}^{0} x\bigl[-2\arcsin(x)\bigr]\,dx = -\frac{2k}{m}\int_{-1}^{0}x\,\arcsin(x)\,dx.
Chamando
J=\int_{-1}^{0}x\,\arcsin(x)\,dx,
fazemos integração por partes ( u=\arcsin(x), dv=x\,dx) e chegamos a
J = \frac{\pi}{8}.
Logo
x_c = -\frac{2k}{k(\pi-2)}\;\frac{\pi}{8} = -\frac{\pi}{4(\pi-2)}.

Resposta

m = (\pi - 2)\,k
\displaystyle (x_c,y_c)=\Bigl(-\frac{\pi}{4(\pi-2)},\,0\Bigr)
Isso corresponde à alternativa c.

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