Seja
a região plana limitada por
,
e
. Se a densidade é
), então a massa e o centro de massa de
são dados, respectivamente por:
Escolha uma opção:
a.
e
b. Nenhuma das Respostas
c.
d.
e
e.
e
a.
b. Nenhuma das Respostas
c.
d.
e.
Passo 1
O enunciado pede a massa e o centro de massa da região
limitada por
para a qual a densidade é constante
.
Vamos usar integrais duplas em coordenadas cartesianas e aproveitar a simetria em relação ao eixo para simplificar.
Vamos usar integrais duplas em coordenadas cartesianas e aproveitar a simetria em relação ao eixo
Passo 2
Para encontrar a massa
calculamos
Como
em
, a área é
Usando
avaliamos de
até
:
em dá
, e em
dá
. Logo
em
Portanto
Passo 3
Pela simetria de
em relação ao eixo
, o momento está em torno do eixo
se anula, garantindo
Passo 4
O abscissa do centro de massa é
Chamando
fazemos integração por partes (
,
) e chegamos a
Logo
Resposta
Isso corresponde à alternativa c.