Verifique se o sistema abaixo é de Cramer. Caso afirmativo, encontre a solução de S usando X=A^{-1} B, onde X é a matriz das incógnitas, A^{-1}. inversa de A (matriz dos coeficientes de S ) e B, matriz dos termos independentes.
S=\left\{\begin{array}{l} x+y-z=-1 \\ 2 x-2 y+z=1 \\ -x+2 y+z=2 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado apresenta o sistema linear
S=\begin{cases} x + y - z = -1,\\\\ 2x - 2y + z = 1,\\\\ -\,x + 2y + z = 2, \end{cases}
e pede para verificar se ele é de Cramer (isto é, se a matriz dos coeficientes tem determinante não nulo) e, em caso afirmativo, encontrar a solução usando
X = A^{-1}B,
onde A é a matriz dos coeficientes, B o vetor dos termos independentes e X o vetor \bigl(x,y,z\bigr)^T. Vamos precisar calcular \det(A), a inversa A^{-1} (via matriz adjunta) e depois multiplicar por B.

Passo 2

Definimos
A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1\\\\ 2 & -2 & 1\\\\ -1 & 2 & 1 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix}-1\\[6pt]1\\[3pt]2\end{pmatrix}.
O determinante de A é
\det(A) =1\cdot\det\begin{pmatrix}-2 & 1\\\ 2 & 1\end{pmatrix} -1\cdot\det\begin{pmatrix}2 & 1\\\ -1 & 1\end{pmatrix} +(-1)\cdot\det\begin{pmatrix}2 & -2\\\ -1 & 2\end{pmatrix}.
Calculando cada menor:
\det\begin{pmatrix}-2 & 1\\\ 2 & 1\end{pmatrix}=-4, \quad \det\begin{pmatrix}2 & 1\\\ -1 & 1\end{pmatrix}=3, \quad \det\begin{pmatrix}2 & -2\\\ -1 & 2\end{pmatrix}=2.
Logo
\det(A)=1\cdot(-4)-1\cdot3+(-1)\cdot2=-4-3-2=-9\neq0.
Como \det(A)\neq0, o sistema é de Cramer.]

Passo 3

Para obter A^{-1}, calculamos a matriz dos cofatores C, fazemos a transposta (adjunta) e dividimos por \det(A). Os cofatores formam
C=\begin{pmatrix} -4 & -3 & 2\\\\ -3 & 0 & -3\\\\ -1 & -3 & -4 \end{pmatrix},
então
\operatorname{adj}(A)=C^T =\begin{pmatrix} -4 & -3 & -1\\\\ -3 & 0 & -3\\\\ 2 & -3 & -4 \end{pmatrix},
e
A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\,\operatorname{adj}(A) =\frac{1}{-9} \begin{pmatrix} -4 & -3 & -1\\\\ -3 & 0 & -3\\\\ 2 & -3 & -4 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} \tfrac{4}{9} & \tfrac{1}{3} & \tfrac{1}{9}\\[4pt] \tfrac{1}{3} & 0 & \tfrac{1}{3}\\[4pt] -\tfrac{2}{9} & \tfrac{1}{3} & \tfrac{4}{9} \end{pmatrix}.]

Passo 4

Agora calculamos
X = A^{-1}B =\begin{pmatrix} \tfrac{4}{9} & \tfrac{1}{3} & \tfrac{1}{9}\\\ \tfrac{1}{3} & 0 & \tfrac{1}{3}\\\\ -\tfrac{2}{9} & \tfrac{1}{3} & \tfrac{4}{9} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}-1\\\ 1\\\ 2\end{pmatrix}.
Fazendo o produto de matrizes:
x = \frac{4}{9}(-1)+\frac{1}{3}\cdot1+\frac{1}{9}\cdot2 = \frac{1}{9},\quad y = \frac{1}{3}(-1)+0\cdot1+\frac{1}{3}\cdot2 = \frac{1}{3},\quad z = -\frac{2}{9}(-1)+\frac{1}{3}\cdot1+\frac{4}{9}\cdot2 = \frac{13}{9}.

Resposta

x = \tfrac{1}{9},\quad y = \tfrac{1}{3},\quad z = \tfrac{13}{9}.

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