1́a Questão: Considerando a função
, determine:
(b) os intervalos onde
é côncava para cima e onde
é côncava para baixo;
(b) os intervalos onde
Passo 1
Temos a função
. O que queremos é descobrir onde
é côncava para cima ou para baixo, ou seja, onde a segunda derivada
é positiva ou negativa. Vamos precisar usar a regra do poder para derivar duas vezes.
Passo 2
Vamos calcular a primeira derivada
. Aplicando a regra
:
Logo,
Passo 3
Agora derivamos
para obter
. De novo a regra do poder:
Portanto,
Passo 4
Vamos simplificar
. Colocando em evidência
:
Como o domínio da função é
(e para derivadas consideramos
), vemos que no intervalo
:
- O numerador
é sempre positivo. - O denominador
também é sempre positivo.
Entãopara todo .
Passo 5
Qual é a consequência de
? Significa que em
a curva de
está voltada para cima, ou seja, é côncava para cima. Como não há nenhum trecho em que
, não existe intervalo de concavidade para baixo.
Resposta
f é côncava para cima em (0, ∞) e não há intervalo de concavidade para baixo.