1́a Questão: Considerando a função f(x)=2 x^3 / 2-6 x^1 / 2, determine:
(b) os intervalos onde f é côncava para cima e onde f é côncava para baixo;

Passo 1

Temos a função f(x)=2x^3/2-6x^1/2. O que queremos é descobrir onde f é côncava para cima ou para baixo, ou seja, onde a segunda derivada f''(x) é positiva ou negativa. Vamos precisar usar a regra do poder para derivar duas vezes.

Passo 2

Vamos calcular a primeira derivada f'(x). Aplicando a regra ddxx^n=n x^n-1:
ddxl(2x^3/2r)=2cdot32x^1/2=3x^1/2,
ddxl(-6x^1/2r)=-6cdot12x^-1/2=-3x^-1/2
Logo,
f'(x)=3x^1/2-3x^-1/2

Passo 3

Agora derivamos f'(x) para obter f''(x). De novo a regra do poder:
ddxl(3x^1/2r)=3cdot12x^-1/2=tfrac32x^-1/2,
ddxl(-3x^-1/2r)=-3cdotl(-tfrac12r)x^-3/2=+tfrac32x^-3/2
Portanto,
f''(x)=tfrac32x^-1/2+tfrac32x^-3/2

Passo 4

Vamos simplificar f''(x). Colocando em evidência x^-3/2:
f''(x)=tfrac32l(x^-3/2r)l(x+1r)=3(x+1)2,x^3/2
Como o domínio da função é x>=0 (e para derivadas consideramos x>0), vemos que no intervalo (0,infty):
  • O numerador 3(x+1) é sempre positivo.
  • O denominador 2x^3/2 também é sempre positivo.
    Então f''(x)>0 para todo x>0.

Passo 5

Qual é a consequência de f''(x)>0? Significa que em (0,infty) a curva de f está voltada para cima, ou seja, é côncava para cima. Como não há nenhum trecho em que f''(x)<0, não existe intervalo de concavidade para baixo.

Resposta

f é côncava para cima em (0, ∞) e não há intervalo de concavidade para baixo.

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