1́a Questão: Considerando a função
, determine:
(a) os intervalos onde
é crescente e onde
é decrescente;
(a) os intervalos onde
Passo 1
Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função
e precisamos descobrir em quais intervalos essa função está crescendo (aumentando) e decrescendo (diminuindo). Para isso, vamos usar o conceito de derivada, que nos ajuda a entender o comportamento das funções.
Passo 2
O primeiro passo para determinar onde a função está crescendo ou decrescendo é calcular a derivada dessa função. A derivada nos dá a taxa de variação da função em cada ponto, ou seja, se ela está aumentando ou diminuindo naquele ponto.
A função dada é:
Vamos calcular a derivada
.
Passo 3
Para derivar
, usamos a regra do poder, que diz que se
, então
.
Aplicando essa regra a cada termo da nossa função:
- Derivada de
:
- Derivada de
:
Então, a derivada completa fica:
Passo 4
Agora, vamos simplificar a derivada para facilitar a análise:
Queremos saber onde
(função crescente) e onde
(função decrescente).
Vamos resolver a inequação
para encontrar os pontos críticos:
Passo 5
Agora que encontramos que
é um ponto crítico, vamos testar os intervalos ao redor desse ponto para determinar onde a função está crescendo ou decrescendo.
- Para
:
Escolha um valor, por exemplo,:
Como
, a função está decrescente nesse intervalo.
- Para
:
Escolha um valor, por exemplo,:
Como
, a função está crescente nesse intervalo.
Resposta
A função
é decrescente no intervalo
e crescente no intervalo
.