1́a Questão: Considerando a função f(x)=2 x^3 / 2-6 x^1 / 2, determine:
(a) os intervalos onde f é crescente e onde f é decrescente;

Passo 1

Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função e precisamos descobrir em quais intervalos essa função está crescendo (aumentando) e decrescendo (diminuindo). Para isso, vamos usar o conceito de derivada, que nos ajuda a entender o comportamento das funções.

Passo 2

O primeiro passo para determinar onde a função está crescendo ou decrescendo é calcular a derivada dessa função. A derivada nos dá a taxa de variação da função em cada ponto, ou seja, se ela está aumentando ou diminuindo naquele ponto.
A função dada é:
f(x) = 2x^3/2 - 6x^1/2
Vamos calcular a derivada .

Passo 3

Para derivar ddx ( 2x^3/2 ) = 2 cdot 32 cdot x^3/2 - 1 = 3x^1/2 , usamos a regra do poder, que diz que se ddx ( -6x^1/2 ) = -6 cdot 12 cdot x^1/2 - 1 = -3x^-1/2 , então f'(x) = 3x^1/2 - 3x^-1/2 .
Aplicando essa regra a cada termo da nossa função:
  • Derivada de :
  • Derivada de :
Então, a derivada completa fica:

Passo 4

Agora, vamos simplificar a derivada para facilitar a análise:
f'(x) = 3raizx - 3raizx
Queremos saber onde 3raizx - 3raizx = 0 (função crescente) e onde 3raizx = 3raizx (função decrescente).
Vamos resolver a inequação raizx cdot raizx = 1 para encontrar os pontos críticos:
x = 1

Passo 5

Agora que encontramos que f'(0.25) = 3raiz0.25 - 3raiz0.25 = 3(0.5) - 30.5 = 1.5 - 6 = -4.5 é um ponto crítico, vamos testar os intervalos ao redor desse ponto para determinar onde a função está crescendo ou decrescendo.
  1. Para f'(4) = 3raiz4 - 3raiz4 = 3(2) - 32 = 6 - 1.5 = 4.5 :
    Escolha um valor, por exemplo, :
Como , a função está decrescente nesse intervalo.
  1. Para :
    Escolha um valor, por exemplo, :
Como , a função está crescente nesse intervalo.

Resposta

A função é decrescente no intervalo e crescente no intervalo .

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