Resolva o problema de valor inicial.
Passo 1
O problema pede para resolver o PVI dado por
que é uma EDO linear de 2ª ordem com coeficientes constantes e termo não homogêneo. Vamos usar o método de solução geral = homogênea + particular e depois impor as condições iniciais.
Passo 2
Primeiro, resolvo a parte homogênea associada:
A equação característica é
Logo a solução homogênea é
Passo 3
Agora escolho um palpite para a solução particular pelo método dos coeficientes indeterminados. Como o termo não homogêneo é
e como
já aparece em
, multiplico por
nesse termo. Então tomo
Passo 4
Calculamos as derivadas de
e substituímos em
para determinar
e
:
Derivadas:
Derivadas:
Substituindo em
:
Queremos
, então
Passo 5
A solução geral da EDO é a soma de homogênea e particular:
Passo 6
Para encontrar
e
, usamos as condições iniciais. Primeiro:
Depois calculamos
:
Em
:
Então
.
Passo 7
Substituindo
e
na solução geral, chegamos à expressão final de
.