Resolva o problema de valor inicial.
y^prime prime-2 y^prime=12 e^2 x-8 e^-2 x, y(0)=-2, y^prime(0)=12

Passo 1

O problema pede para resolver o PVI dado por
y'' - 2y' = 12e^2x - 8e^-2x, y(0) = -2, y'(0) = 12,
que é uma EDO linear de 2ª ordem com coeficientes constantes e termo não homogêneo. Vamos usar o método de solução geral = homogênea + particular e depois impor as condições iniciais.

Passo 2

Primeiro, resolvo a parte homogênea associada:
y'' - 2y' = 0
A equação característica é
r^2 - 2r = 0 ,Rightarrow, r(r - 2) = 0 Rightarrow r = 0,,2
Logo a solução homogênea é
yh(x) = C1 + C2 e^2x

Passo 3

Agora escolho um palpite para a solução particular pelo método dos coeficientes indeterminados. Como o termo não homogêneo é
12e^2x - 8e^-2x,
e como e^2x já aparece em yh, multiplico por x nesse termo. Então tomo
yp(x) = A x e^2x + B e^-2x

Passo 4

Calculamos as derivadas de yp e substituímos em y'' - 2y' para determinar A e B:
Derivadas:
yp' = A(1 + 2x)e^2x - 2B e^-2x,
yp'' = 4A(1 + x)e^2x + 4B e^-2x
Substituindo em y'' - 2y':
(4A(1+x)e^2x + 4B e^-2x) - 2igl(A(1+2x)e^2x - 2B e^-2xr) = 2A e^2x + 8B e^-2x 
Queremos 2A e^2x + 8B e^-2x = 12e^2x - 8e^-2x, então
2A = 12 implies A = 6,
8B = -8 implies B = -1

Passo 5

A solução geral da EDO é a soma de homogênea e particular:
y(x) = yh + yp = C1 + C2 e^2x + 6x e^2x - e^-2x

Passo 6

Para encontrar C1 e C2, usamos as condições iniciais. Primeiro:
y(0) = C1 + C2 + 0 - 1 = -2 Rightarrow C1 + C2 = -1
Depois calculamos y'(x):
y'(x) = 2C2 e^2x + 6e^2x + 12x e^2x + 2e^-2x
Em x=0:
y'(0) = 2C2 + 6 + 0 + 2 = 12 Rightarrow 2C2 = 4 implies C2 = 2
Então C1 = -1 - C2 = -3.

Passo 7

Substituindo C1 = -3 e C2 = 2 na solução geral, chegamos à expressão final de y(x).

Resposta

y(x) = -3 + 2e^2x + 6x e^2x - e^-2x

Exercícios relacionados