Encontre uma solução geral dos sistemas a seguir.
ly1^prime=3 y2 y2^prime=12 y1

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema de equações diferenciais ly1'=3y2y2'=12y1. Este é um sistema linear de primeira ordem com coeficientes constantes. Vamos usar o método de autovalores e autovetores para encontrar a solução geral.

Passo 2

Reescrevemos o sistema na forma matricial y'=Ay, onde y=(y1,y2)^T e
A=0 & 3 12 & 0
Em seguida, calculamos o polinômio característico det(A-lambda I).

Passo 3

O determinante do bloco abaixo dá o polinômio característico:
det-lambda & 3 12 & -lambda=lambda^2-36
Resolvendo lambda^2-36=0, encontramos os autovalores lambda1=6 e lambda2=-6.

Passo 4

Para lambda1=6, resolvemos
(A-6I)v=-6 & 3 12 & -6v1v2=0
que leva a -6v1+3v2=0 e, portanto, v2=2v1. Logo podemos escolher o autovetor v1=(1,2)^T. Para lambda2=-6 fazemos
(A+6I)v=6 & 3 12 & 6v1v2=0
resultando em v2=-2v1 e o autovetor v2=(1,-2)^T.

Passo 5

Como o sistema é diagonalizável, a solução geral é combinação linear das soluções fundamentais e^lambda tv. Assim,
y(t)=C1e^6t1 2+C2e^-6t1 -2
Em componentes isso dá
y1(t)=C1e^6t+C2e^-6t, y2(t)=2C1e^6t-2C2e^-6t

Resposta

A solução geral é
y(t)=C1e^6t1 2+C2e^-6t1 -2,
ou, em componentes,
y1(t)=C1e^6t+C2e^-6t, y2(t)=2C1e^6t-2C2e^-6t

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