Encontre uma solução geral dos sistemas a seguir.
Passo 1
O enunciado nos dá o sistema de equações diferenciais
. Este é um sistema linear de primeira ordem com coeficientes constantes. Vamos usar o método de autovalores e autovetores para encontrar a solução geral.
Passo 2
Reescrevemos o sistema na forma matricial
, onde
e
Em seguida, calculamos o polinômio característico
.
Passo 3
O determinante do bloco abaixo dá o polinômio característico:
Resolvendo
, encontramos os autovalores
e
.
Passo 4
Para
, resolvemos
que leva a
e, portanto,
. Logo podemos escolher o autovetor
. Para
fazemos
resultando em
e o autovetor
.
Passo 5
Como o sistema é diagonalizável, a solução geral é combinação linear das soluções fundamentais
. Assim,
Em componentes isso dá
Resposta
A solução geral é
ou, em componentes,