1́a Questão: Considerando a função f(x)=2 x^3 / 2-6 x^1 / 2, determine:
(d) os pontos de inflexão;

Passo 1

Temos a função f(x)=2x^3/2-6x^1/2 e queremos encontrar seus pontos de inflexão. Lembrando que ponto de inflexão ocorre onde a segunda derivada se anula ou muda de sinal. Como o domínio natural é [0,infty[, vamos focar em x>0.

Passo 2

Para achar a primeira derivada, usamos a regra de potência em cada parcela. Derivando 2x^3/2 e -6x^1/2, obtemos:
f'(x)=3x^1/2-3x^-1/2
Podemos reescrever como
f'(x)=3x-1raizx

Passo 3

Agora derivamos f'(x) para obter a segunda derivada. Derivando 3(x-1)x^-1/2 ou diretamente 3(x^1/2-x^-1/2), dá:
f''(x)=32l(x^-1/2+x^-3/2r)
Que simplifica para
f''(x)=3,(x+1)2,x^3/2

Passo 4

Para achar possíveis pontos de inflexão, analisamos onde f''(x)=0 ou está indefinida. A condição f''(x)=0 exige x+1=0, isto é x=-1, fora do domínio. Em x=0 a derivada segunda diverge, mas não existe intervalo à esquerda para estudar mudança de sinal. Além disso, para todo x>0, f''(x)>0, indicando concavidade para cima em toda a região.

Passo 5

Como não há mudança de sinal de f''(x) em ]0,infty[ nem zero de segunda derivada no domínio, concluímos que não existem pontos de inflexão para a função.

Resposta

Não existem pontos de inflexão para f(x)=2x^3/2-6x^1/2 em seu domínio.

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