Encontre uma solução geral dos sistemas a seguir.
ly1^prime=5 y2 y2^prime=5 y1

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a solução geral do sistema linear de EDOs de primeira ordem com coeficientes constantes:
y1'=5,y2y2'=5,y1
Conteúdo: sistemas lineares e redução a equação de segunda ordem.

Passo 2

Para reduzir a um único problema de segunda ordem, derivamos a primeira equação e usamos a segunda:\
y1''=5,y2'
Substituindo y2'=5,y1 vem
y1''=5,(5,y1)=25,y1
Logo, y1 satisfaz a EDO y1''-25,y1=0.

Passo 3

Resolvendo a equação característica r^2-25=0 obtemos r=5 e r=-5. Assim, a solução geral para y1(t) é
y1(t)=C1e^5t+C2e^-5t

Passo 4

Para achar y2(t), usamos y2=tfrac15y1'. Calculando y1':
y1'(t)=5C1e^5t-5C2e^-5t
Logo
y2(t)=C1e^5t-C2e^-5t

Passo 5

Reescrevendo em forma vetorial, com constantes de integração C1,C2:
y1(t)y2(t) =C111e^5t+C21-1e^-5t

Resposta

(y1(t),y2(t))=C1(1,1)e^5t+C2(1,-1)e^-5t, com C1,C2 constantes arbitrárias.

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