Transforme as equações polares para cartesianas:
(7.5) r=2 sen 3 theta.

Passo 1

Vamos transformar a equação polar em uma relação entre x e y usando as fórmulas de conversão polares-cartesiano. O enunciado é r = 2 sen 3θ, e vamos precisar de x = r cos θ, y = r sen θ e r² = x² + y².

Passo 2

Usamos a identidade trigonométrica para ângulo triplo do seno:
sin 3theta = 3sintheta - 4sin^3theta

Passo 3

Substituindo em r = 2 sen 3θ, temos
r = 2l(3sintheta - 4sin^3thetar) = 6sintheta - 8sin^3theta

Passo 4

Agora expressamos tudo em função de x, y e r. Como sintheta = yr,
r = 6yr - 8y^3r^3

Passo 5

Multiplicamos ambos os lados por r³ para eliminar denominadores:
r^4 = 6y,r^2 - 8y^3

Passo 6

Por fim, usamos r² = x² + y² e r⁴ = (x² + y²)² para chegar à forma cartesiana:
(x^2 + y^2)^2 = 6y, (x^2 + y^2) - 8y^3

Passo 7

Se quisermos, podemos expandir essa expressão:
x^4 + 2x^2y^2 + y^4 - 6x^2y + 2y^3 = 0

Resposta

A forma cartesiana é
(x^2 + y^2)^2 = 6y,(x^2 + y^2) - 8y^3
ou, expandida,
x^4 + 2x^2y^2 + y^4 - 6x^2y + 2y^3 = 0

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