Transforme as equações polares para cartesianas:
(7.5)
.
(7.5)
Passo 1
Vamos transformar a equação polar em uma relação entre x e y usando as fórmulas de conversão polares-cartesiano. O enunciado é r = 2 sen 3θ, e vamos precisar de x = r cos θ, y = r sen θ e r² = x² + y².
Passo 2
Usamos a identidade trigonométrica para ângulo triplo do seno:
Passo 3
Substituindo em r = 2 sen 3θ, temos
Passo 4
Agora expressamos tudo em função de x, y e r. Como
,
Passo 5
Multiplicamos ambos os lados por r³ para eliminar denominadores:
Passo 6
Por fim, usamos r² = x² + y² e r⁴ = (x² + y²)² para chegar à forma cartesiana:
Passo 7
Se quisermos, podemos expandir essa expressão:
Resposta
A forma cartesiana é
ou, expandida,