Encontre uma solução geral.
ly1^prime=4 y2+9 t y2^prime=-4 y1+5

Passo 1

Temos um sistema linear de duas equações diferenciais de primeira ordem: y1' = 4y2 + 9t e y2' = -4y1 + 5. O conteúdo é resolução de sistemas lineares via solução geral do homogêneo e método dos coeficientes indeterminados para achar uma solução particular.

Passo 2

Escrevendo em forma matricial, definimos y=y1y2 e
A=0 & 4-4 & 0, f(t)=9t5
O sistema homogêneo é y'=Ay. Calculamos o polinômio característico: det(A-lambda I)=lambda^2+16=0, então lambda=pm4i.

Passo 3

Da teoria de autovalores imaginários, a solução geral do homogêneo é
yh(t)=C1cos(4t)-sin(4t)+C2sin(4t)cos(4t)
Isso dá

Passo 4

Para encontrar uma solução particular, usamos o método dos coeficientes indeterminados. Assumimos
t
Substituindo em cada equação e igualando coeficientes de c=-tfrac94, a=0, b=tfrac2916, d=0 e constantes, obtemos

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Passo 5

A solução geral do sistema é a soma do homogêneo com a particular. Portanto

Resposta

y1(t)=C1cos(4t)+C2sin(4t)+tfrac2916, y2(t)=-C1sin(4t)+C2cos(4t)-tfrac94t

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