Resolva o problema de valor inicial.
Passo 1
O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial da EDO
O conteúdo aqui é equações lineares de segunda ordem com coeficientes constantes e termo forçante exponencial. Vamos precisar de: 1) solução da homogênea via equação característica; 2) particular por coeficientes indeterminados; 3) ajuste às condições iniciais.
Passo 2
Para a parte homogênea, montamos a equação característica
Calculamos o discriminante:
Isso gera
Passo 3
Para a parte particular, tentamos
Então
$$y_p’ = 0{,}5C,e^{0.5x},\quad y_p’’ = 0{,}25C,e^{0.5x}.
Assim
e
Passo 4
A solução geral é
$$y(x) = y_h(x) + y_p(x) = e^{-0.1x}(A\cos(0.5x) + B\sin(0.5x)) + 2e^{0.5x}.
Derivando e avaliando em
:
Em
Passo 5
Substituindo
e
na solução geral, obtemos a resposta final.