Resolva o problema de valor inicial.
y^prime prime+0,2 y^prime+0,26 y=1,22 e^0,5 x, y(0)=3,5, y^prime(0)=0,35

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial da EDO
y'' + 0,2,y' + 0,26,y = 1,22,e^0,5x, y(0)=3,5,;y'(0)=0,35
O conteúdo aqui é equações lineares de segunda ordem com coeficientes constantes e termo forçante exponencial. Vamos precisar de: 1) solução da homogênea via equação característica; 2) particular por coeficientes indeterminados; 3) ajuste às condições iniciais.

Passo 2

Para a parte homogênea, montamos a equação característica
r^2 + 0,2,r + 0,26 = 0
Calculamos o discriminante: De. Logo as raízes são
r = -0,2 pm iraiz12 = -0,1 pm 0,5,i
Isso gera
yh(x) = e^-0.1xl(Acos(0.5x) + Bsin(0.5x)r)

Passo 3

Para a parte particular, tentamos
yp(x) = C,e^0.5x
Então
$$y_p’ = 0{,}5C,e^{0.5x},\quad y_p’’ = 0{,}25C,e^{0.5x}.
yp' = 0,5C,e^0.5x, yp'' = 0,25C,e^0.5x 0{,}25C + 0{,}2\cdot0{,}5C + 0{,}26C = (0{,}25 + 0{,}1 + 0{,}26)C = 0{,}61C = 1{,}22.$$
Assim 0,25C + 0,2cdot0,5C + 0,26C = (0,25 + 0,1 + 0,26)C = 0,61C = 1,22 e
C = 2

Passo 4

A solução geral é
$$y(x) = y_h(x) + y_p(x) = e^{-0.1x}(A\cos(0.5x) + B\sin(0.5x)) + 2e^{0.5x}.
y(x) = yh(x) + yp(x) = e^-0.1x(Acos(0.5x) + Bsin(0.5x)) + 2e^0.5x çõy(0) = A + 2 = 3{,}5 \implies A = 1{,}5.$$
Derivando e avaliando em x=0:
y(0) = A + 2 = 3,5 implies A = 1,5
Em x=0 isso vira
y'(x) = e^-0.1xl(-0,1(Acos0,5x)+(-0,5Asin0,5x) -0,1Bsin0,5x + 0,5Bcos0,5xr) + e^0.5x

Passo 5

Substituindo A=1,5 e B=-1 na solução geral, obtemos a resposta final.

Resposta

y(x)=e^-0.1xl(1,5cos(0.5x)-sin(0.5x)r)+2e^0.5x

Exercícios relacionados