Seja W uma região fechada e limitada de R^3, cuja a fronteira, partial W, é a união de duas superfícies S1 e S2, orientadas com vetor normal exterior a W. Considere o vetor normal a S1 com a terceira componente positiva. Qual o valor de integral duplaS2(F cdot n) d s, onde F(x, y, z)=(e^y^2+z^2, y+2 raiz5,-2 y), sabendo que S1 é uma porção do plano 2 y+z=1 com 5 unidades de área e que W possui 30 unidade de volume.

Passo 1

Aqui a gente quer calcular o fluxo de F através de S₂. O enunciado diz que ∂W = S₁ ∪ S₂, com normais apontando pra fora, e que o volume de W é 30 e a área de S₁ é 5. O conteúdo principal é o Teorema da Divergência, então vamos precisar de div F e do fluxo de F em S₁.

Passo 2

Pelo Teorema da Divergência, o fluxo total sobre ∂W é igual ao integral da divergência de F no volume de W:
integral triplaW nablacdot F,dV = integral duplapartial W Fcdot n,dS = integral duplaS1 Fcdot n,dS + integral duplaS2 Fcdot n,dS
Calculando a divergência de F(x,y,z)=(e^{y²+z²},y+2√5,−2y):
nablacdot F = ∂∂xe^y²+z² + ∂∂y(y+2√5) + ∂∂z(−2y) = 0 + 1 + 0 = 1²²
Como o volume de W é 30, temos
integral triplaW 1,dV = 30,
ou seja
integral duplaS1Fcdot n,dS + integral duplaS2Fcdot n,dS =30

Passo 3

Para achar integral duplaS1Fcdot n,dS, note que o plano de S₁ é 2y+z=1. Um vetor normal não unitário é (0,2,1), e o normal unitário com componente z positiva é
n=(0,2,1)raiz0^2+2^2+1^2=(0,2,1)raiz5
Então
$$F\cdot n=\bigl(e{y2+z^2},y+2\sqrt5,-2y\bigr)\cdot\frac{(0,2,1)}{\sqrt5}
=\frac{2(y+2\sqrt5)-2y}{\sqrt5}
=\frac{4\sqrt5}{\sqrt5}=4.$$
Como é constante, o fluxo em S₁ é 4 vezes a área de 5, ou seja 20.

Passo 4

Agora basta usar
integral duplaS1Fcdot n,dS + integral duplaS2Fcdot n,dS =30
e isolar integral duplaS2Fcdot n,dS:
integral duplaS2Fcdot n,dS =30-20=10

Resposta

10

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