Seja
uma região fechada e limitada de
, cuja a fronteira,
, é a união de duas superfícies
e
, orientadas com vetor normal exterior a
. Considere o vetor normal a
com a terceira componente positiva. Qual o valor de
, onde
, sabendo que
é uma porção do plano
com 5 unidades de área e que
possui 30 unidade de volume.
Passo 1
Aqui a gente quer calcular o fluxo de F através de S₂. O enunciado diz que ∂W = S₁ ∪ S₂, com normais apontando pra fora, e que o volume de W é 30 e a área de S₁ é 5. O conteúdo principal é o Teorema da Divergência, então vamos precisar de div F e do fluxo de F em S₁.
Passo 2
Pelo Teorema da Divergência, o fluxo total sobre ∂W é igual ao integral da divergência de F no volume de W:
Calculando a divergência de F(x,y,z)=(e^{y²+z²},y+2√5,−2y):
Como o volume de W é 30, temos
ou seja
Passo 3
Para achar
, note que o plano de S₁ é 2y+z=1. Um vetor normal não unitário é (0,2,1), e o normal unitário com componente z positiva é
Então
$$F\cdot n=\bigl(e{y2+z^2},y+2\sqrt5,-2y\bigr)\cdot\frac{(0,2,1)}{\sqrt5}
=\frac{2(y+2\sqrt5)-2y}{\sqrt5}
=\frac{4\sqrt5}{\sqrt5}=4.$$
Como é constante, o fluxo em S₁ é 4 vezes a área de 5, ou seja 20.
Como é constante, o fluxo em S₁ é 4 vezes a área de 5, ou seja 20.
Passo 4
Agora basta usar
e isolar
Resposta
10