1́a Questão: Considerando a função f(x)=2 x^3 / 2-6 x^1 / 2, determine:
© os pontos de máximo e mínimo locais;

Passo 1

O enunciado pede para achar os pontos de máximo e mínimo locais da função f(x)=2 x^{3/2}−6 x^{1/2}. O conteúdo é cálculo de derivadas, pontos críticos e teste da segunda derivada.

Passo 2

Primeiro vamos calcular a derivada primeira. Note que o domínio natural é x≥0. Usando a regra da potência temos:
f'(x)=ddxl(2x^3/2r) - ddxl(6x^1/2r)=2cdot32x^1/2-6cdot12x^-1/2=3x^1/2-3x^-1/2

Passo 3

Para encontrar os pontos críticos, resolvemos f’(x)=0. Assim:
3l(raizx-1raizxr)=0Longrightarrowraizx=1raizxLongrightarrow x=1
Também observamos que em x=0 a derivada não está definida, mas é ponto de fronteira do domínio.

Passo 4

Para classificar o ponto x=1 aplicamos o teste da segunda derivada. Calculando f’’:
f''(x)=ddxl(3x^1/2-3x^-1/2r)=32x^-1/2+32x^-3/2
Em x=1 isso dá
f''(1)=32(1+1)=3>0,
portanto temos mínimo local em x=1.

Passo 5

Não há nenhum ponto em que f’(x) mude de sinal indicando máximo local no interior de (0,∞). No limite x→0⁺ a função decresce, logo não surge máximo interno.

Resposta

Mínimo local em x=1 com f(1)=−4; não há máximo local.

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