1́a Questão: Considerando a função
, determine:
© os pontos de máximo e mínimo locais;
© os pontos de máximo e mínimo locais;
Passo 1
O enunciado pede para achar os pontos de máximo e mínimo locais da função f(x)=2 x^{3/2}−6 x^{1/2}. O conteúdo é cálculo de derivadas, pontos críticos e teste da segunda derivada.
Passo 2
Primeiro vamos calcular a derivada primeira. Note que o domínio natural é x≥0. Usando a regra da potência temos:
Passo 3
Para encontrar os pontos críticos, resolvemos f’(x)=0. Assim:
Também observamos que em x=0 a derivada não está definida, mas é ponto de fronteira do domínio.
Passo 4
Para classificar o ponto x=1 aplicamos o teste da segunda derivada. Calculando f’’:
Em x=1 isso dá
portanto temos mínimo local em x=1.
Passo 5
Não há nenhum ponto em que f’(x) mude de sinal indicando máximo local no interior de (0,∞). No limite x→0⁺ a função decresce, logo não surge máximo interno.
Resposta
Mínimo local em x=1 com f(1)=−4; não há máximo local.