Verifique se o ponto P pertence à curva C, sendo:
(4.2) P(-1, pi2) e C: r(1-3 sen theta)=4.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para verificar se o ponto $ P(-1, \frac{\pi}{2}) $ está na curva $ C $ definida pela equação $ r(1 - 3 \sin \theta) = 4 $. Vamos usar conceitos de coordenadas polares para isso. Precisamos descobrir se, ao substituir as coordenadas do ponto na equação da curva, a igualdade se mantém verdadeira.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as coordenadas do ponto $ P $. Em coordenadas polares, $ P $ é dado por $ r = -1 $ e $ \theta = \frac{\pi}{2} $. Normalmente, $ r $ é positivo, mas um $ r $ negativo significa que o ponto está na direção oposta do ângulo dado.

Passo 3

Agora, vamos substituir $ r $ e $ \theta $ na equação da curva $ C $. A equação é:
r
Substituindo os valores do ponto $ P $:
theta

Passo 4

Vamos calcular o valor de $ \sin \left(\frac{\pi}{2}\right) $. Sabemos que $ \sin \left(\frac{\pi}{2}\right) = 1 $. Então,
sin (pi2)

Passo 5

Agora, comparamos o resultado obtido com o lado direito da equação original, que é 4:
2 neq 4
Como $ 2 $ é diferente de $ 4 $, a igualdade não se mantém.

Resposta

O ponto $ P(-1, \frac{\pi}{2}) $ não pertence à curva $ C $.

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