1a) Questão: Considere a função
(a) Determine o valor de seja contínua em ;
(b) Use a definição de derivada para mostrar que f não é derivável em .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função [f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}) definida por:
O exercício tem duas partes:
  • Parte (a): Encontrar o valor de seja contínua em .
  • Parte (b): Mostrar que não é derivável em usando a definição de derivada.
Vamos precisar entender conceitos de continuidade e derivada, além de como calcular limites. Vou explicar passo a passo para facilitar o entendimento.

Passo 2

Parte (a): Determinar a para a continuidade em x = 0 .
Primeiro, lembramos que uma função é contínua em um ponto c se:
limx to c f(x) = f(c)
No nosso caso, queremos que f seja contínua em x = 0 . Então, precisamos que:
limx to 0 f(x) = f(0)
Sabemos que f(0) = a . Agora, vamos calcular o limite limx to 0 f(x) .

Passo 3

Calculando limx to 0 f(x) :
f(x) = sin(x) raiz[3]x-2x, para x neq 0
Então:
limx to 0 sin(x) raiz[3]x-2x
Podemos separar o limite em dois fatores:
limx to 0 sin(x)x cdot limx to 0 raiz[3]x-2
Sabemos que:
limx to 0 sin(x)x = 1
E:
limx to 0 raiz[3]x-2 = raiz[3]0 - 2 = raiz[3]-2 = -raiz[3]2
Multiplicando os dois limites:
1 cdot (-raiz[3]2) = -raiz[3]2

Passo 4

Agora que temos o limite:
limx to 0 f(x) = -raiz[3]2
Para que f seja contínua em x = 0 , precisamos que:
limx to 0 f(x) = f(0) Rightarrow -raiz[3]2 = a
Portanto, o valor de a que torna f contínua em x = 0 é a = -raiz[3]2 .

Passo 5

Parte (b): Mostrar que f não é derivável em x = 2 usando a definição de derivada.
A definição de derivada em um ponto c é:
f'(c) = limh to 0 f(c + h) - f(c)h
Queremos verificar se existe esse limite para c = 2 .

Passo 6

Primeiro, encontramos f(2) :
f(2) = sin(2) raiz[3]2-22 = sin(2) cdot 02 = 0
Agora, aplicamos a definição de derivada:
f'(2) = limh to 0 f(2 + h) - 0h = limh to 0 f(2 + h)h
Para h neq -2 , temos:
f(2 + h) = sin(2 + h) raiz[3](2 + h) - 22 + h = sin(2 + h) raiz[3]h2 + h
Então:
f'(2) = limh to 0 sin(2 + h) raiz[3]hh(2 + h) = limh to 0 sin(2 + h)2 + h cdot raiz[3]hh

Passo 7

Vamos analisar cada parte do limite:
  1. limh to 0 sin(2 + h)2 + h:
    • Como h to 0 , temos sin(2 + h) to sin(2) e 2 + h to 2 .
    • Então, esse limite é sin(2)2 , que é um número finito.
  2. limh to 0 raiz[3]hh:
    • Podemos reescrever raiz[3]h como h^1/3 .
    • Assim, h^1/3h = h^-2/3 .
    • Quando h to 0 , h^-2/3 to infty se h > 0 e h^-2/3 to infty também se h < 0 .

Passo 8

Multiplicando os dois limites:
sin(2)2 cdot infty = infty
Isso significa que o limite f'(2) não existe, pois tende ao infinito. Portanto, f não é derivável em x = 2 .

Resposta

(a) a = -raiz[3]2
(b) A função f não é derivável em x = 2 .

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