1a) Questão: Considere a função
(a) Determine o valor de seja contínua em
;
(b) Use a definição de derivada para mostrar que f não é derivável em
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função [f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}) definida por:
O exercício tem duas partes:
- Parte (a): Encontrar o valor de seja contínua em
. - Parte (b): Mostrar que
não é derivável em usando a definição de derivada.
Vamos precisar entender conceitos de continuidade e derivada, além de como calcular limites. Vou explicar passo a passo para facilitar o entendimento.
Passo 2
Parte (a): Determinar
para a continuidade em
.
Primeiro, lembramos que uma função é contínua em um ponto
se:
No nosso caso, queremos que
seja contínua em
. Então, precisamos que:
Sabemos que
. Agora, vamos calcular o limite
.
Passo 3
Calculando
:
Então:
Podemos separar o limite em dois fatores:
Sabemos que:
E:
Multiplicando os dois limites:
Passo 4
Agora que temos o limite:
Para que
seja contínua em
, precisamos que:
Portanto, o valor de
que torna
contínua em
é
.
Passo 5
Parte (b): Mostrar que
não é derivável em
usando a definição de derivada.
A definição de derivada em um ponto
é:
Queremos verificar se existe esse limite para
.
Passo 6
Primeiro, encontramos
:
Agora, aplicamos a definição de derivada:
Para
, temos:
Então:
Passo 7
Vamos analisar cada parte do limite:
-
: - Como
, temos e . - Então, esse limite é
, que é um número finito.
- Como
-
: - Podemos reescrever
como . - Assim,
. - Quando
, se e também se .
- Podemos reescrever
Passo 8
Multiplicando os dois limites:
Isso significa que o limite
não existe, pois tende ao infinito. Portanto,
não é derivável em
.
Resposta
(a)
(b) A função
não é derivável em
.