Dividindo-se o polinômio P(x)=x^5+a x^4+b x^2+c x+1 por (x-1), obtém-se resto igual a 2. Dividindose P(x) por (x+1), obtém-se resto igual a 3 . Sabendo que P(x) é divisível por (x-2), tem-se que o valor de a bc é igual a
A) -6
B) -4
C) 4
D) 7
E) 9

Passo 1

O enunciado dá o polinômio
P(x)=x^5+a x^4+b x^2+c x+1
e informa que ao dividir por (x-1) o resto é 2, por (x+1) o resto é 3, e que P(x) é divisível por (x-2). Vamos usar o Teorema do Resto, que diz que o resto de P(x) em (x-alpha) é P(alpha). Nosso objetivo é achar a,bc.

Passo 2

Aplicando P(1)=2:
1 + a + b + c + 1 = 2
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a + b + c = 0
Aplicando P(-1)=3:
(-1)^5 + a(-1)^4 + b(-1)^2 + c(-1) + 1 = 3
-1 + a + b - c + 1 = 3
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a + b - c = 3
Como P(2)=0:
2^5 + a,2^4 + b,2^2 + c,2 + 1 = 0
32 + 16a + 4b + 2c + 1 = 0
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16a + 4b + 2c = -33

Passo 3

Das duas primeiras equações, subtraindo a+b+c=0 de a+b-c=3, vem
-2c = 3 Longrightarrow c = -tfrac32
E então de a+b+c=0 achamos
a + b = tfrac32

Passo 4

Substituindo c=-tfrac32 e a+b=tfrac32 em 16a+4b+2c=-33:
16a + 4b -3 = -33 Longrightarrow 16a + 4b = -30 Longrightarrow 8a + 2b = -15
Como 2a + 2b = 3, subtraindo:
6a = -18 Longrightarrow a = -3
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b = tfrac32 - a = tfrac32 + 3 = tfrac92

Passo 5

Agora calculamos
a,bc = l(-3r)l(tfrac92r)-tfrac32 = -tfrac272-tfrac32 = 273 = 9

Resposta

9

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