A área do polígono, situado no primeiro quadrante, que é delimitado pelos eixos coordenados e pelo conjunto (x, y) in R^2: 3 x^2+2 y^2+5 x y-9 x-8 y+6=0, é igual a
A) raiz6
B) 52
C) 2 raiz2
D) 3
E) 103

Passo 1

O enunciado pede a área do polígono no primeiro quadrante delimitado pelos eixos x=0, y=0 e pela curva
3x^2+2y^2+5xy-9x-8y+6=0
O objetivo é reconhecer que essa curva se fatoriza em duas retas, achar seus pontos de interseção com os eixos e então calcular a área do polígono formado.

Passo 2

Para ver que o polinômio é degenerate, achamos primeiro o centro da curva resolvendo
partialpartial xl(3x^2+5xy-9xr)=6x+5y-9=0,
partialpartial yl(2y^2+5xy-8yr)=4y+5x-8=0
Resolvendo o sistema
6x+5y=9, 5x+4y=8,
obtém-se x=4, y=-3. Fazendo a troca u=x-4, v=y+3, a equação vira
3u^2+5uv+2v^2=0,
que é homogênea de grau 2, logo representa duas retas passando pela origem em (u,v).

Passo 3

Fatorando
3u^2+5uv+2v^2=(3u+2v)(u+v)=0,
temos as duas retas em (u,v). Voltando a (x,y):
3(x-4)+2(y+3)=0Longrightarrow3x+2y-6=0,
(x-4)+(y+3)=0Longrightarrow x+y-1=0
Logo a curva original é a união das retas
ell1:x+y-1=0, ell2:3x+2y-6=0

Passo 4

Interseções com os eixos no primeiro quadrante:
  • Para ell1: em y=0 x=1, em x=0 y=1. Pontos (1,0) e (0,1).
  • Para ell2: em y=0 x=2, em x=0 y=3. Pontos (2,0) e (0,3).
Essas três retas e os eixos formam um polígono que, graficamente, é o grande triângulo com vértices (0,0), (2,0), (0,3) de onde se retira o triângulo menor com vértices (0,0), (1,0), (0,1).

Passo 5

Cálculo das áreas:
Área do triângulo grande =2cdot32=3, Áâ
Área do triângulo pequeno =1cdot12=12 Áâ
Logo a área do polígono é
3-12=52

Resposta

52

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