A área do polígono, situado no primeiro quadrante, que é delimitado pelos eixos coordenados e pelo conjunto , é igual a
A)
B)
C)
D) 3
E)
Passo 1
O enunciado pede a área do polígono no primeiro quadrante delimitado pelos eixos , e pela curva
O objetivo é reconhecer que essa curva se fatoriza em duas retas, achar seus pontos de interseção com os eixos e então calcular a área do polígono formado.
Passo 2
Para ver que o polinômio é degenerate, achamos primeiro o centro da curva resolvendo
Resolvendo o sistema
obtém-se x=4, y=-3. Fazendo a troca u=x-4, v=y+3, a equação vira
3u^2+5uv+2v^2=0,
que é homogênea de grau 2, logo representa duas retas passando pela origem em (u,v).
Passo 3
Fatorando
3u^2+5uv+2v^2=(3u+2v)(u+v)=0,
temos as duas retas em (u,v). Voltando a (x,y):
3(x-4)+2(y+3)=0Longrightarrow3x+2y-6=0,
(x-4)+(y+3)=0Longrightarrow x+y-1=0
Logo a curva original é a união das retas
ell1:x+y-1=0, ell2:3x+2y-6=0
Passo 4
Interseções com os eixos no primeiro quadrante:
Para ell1: em y=0 dá x=1, em x=0 dá y=1. Pontos (1,0) e (0,1).
Para ell2: em y=0 dá x=2, em x=0 dá y=3. Pontos (2,0) e (0,3).
Essas três retas e os eixos formam um polígono que, graficamente, é o grande triângulo com vértices (0,0), (2,0), (0,3) de onde se retira o triângulo menor com vértices (0,0), (1,0), (0,1).