Resolva as equações abaixo em x :
2 \cos ^{2}\left(\frac{x}{2}\right)+\operatorname{sen}\left(\frac{x}{2}\right)=5

Passo 1

O enunciado pede: resolver em x a equação
2\cos^{2}\!\left(\frac{x}{2}\right)+\sin\!\left(\frac{x}{2}\right)=5.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A incógnita é x.
  • A expressão envolve as funções trigonométricas \cos e \sin avaliadas em \frac{x}{2}.
  • Não há outras restrições explícitas (assumimos soluções reais, a menos que se peça complexo).

Passo 2

Vamos simplificar a notação para trabalhar melhor: defina
t=\frac{x}{2}.
Assim a equação fica em t:
2\cos^{2}(t)+\sin(t)=5.
Explicando a ideia: substituir t=\frac{x}{2} é só uma mudança de variável para trabalhar com uma única função trigonométrica em t. Depois converteremos soluções em t de volta para x usando x=2t.

Passo 3

Use a identidade trigonométrica fundamental que liga \cos^{2}(t) e \sin^{2}(t):
\cos^{2}(t)=1-\sin^{2}(t).
Essa identidade vem de \sin^{2}(t)+\cos^{2}(t)=1. Substituindo na equação em t:
2\bigl(1-\sin^{2}(t)\bigr)+\sin(t)=5.
Agora desenvolva a expressão:
2-2\sin^{2}(t)+\sin(t)=5.
Passe todos os termos para o mesmo lado para obter uma equação polinomial em \sin(t):
-2\sin^{2}(t)+\sin(t)+2-5=0,
ou seja
-2\sin^{2}(t)+\sin(t)-3=0.

Passo 4

Multiplique por -1 para ficar com coeficiente positivo do termo quadrático:
2\sin^{2}(t)-\sin(t)+3=0.
Agora trate isso como uma equação quadrática na variável y=\sin(t):
2y^{2}-y+3=0.
Relembre a fórmula do discriminante para uma quadrática ay^{2}+by+c=0:
\Delta=b^{2}-4ac,
que indica a natureza das raízes reais (se \Delta<0 não há raízes reais). Aqui a=2, b=-1, c=3. Calcule \Delta:
\Delta = (-1)^{2}-4\cdot 2\cdot 3 = 1-24 = -23.
Como \Delta=-23<0, a equação quadrática não tem raízes reais em y. Em termos de y=\sin(t), isso significa que não existe número real y que satisfaça 2y^{2}-y+3=0.

Passo 5

Interpretação trigonométrica alternativa (mais direta e intuitiva): para qualquer real t temos
0\le \cos^{2}(t)\le 1\quad\text{e}\quad -1\le \sin(t)\le 1.
Portanto
2\cos^{2}(t)\le 2
e
2\cos^{2}(t)+\sin(t)\le 2+1=3.
Logo o lado esquerdo da equação nunca ultrapassa 3 para t real, enquanto o lado direito é 5. Isso já mostra diretamente que não existe t\in\mathbb{R} que satisfaça a equação, porque 3<5. Esse argumento confirma o que o cálculo do discriminante indicou.

Passo 6

Conclusão final em termos de x: não existe t=\frac{x}{2} real que resolva a equação, portanto não existe x\in\mathbb{R} que satisfaça
2\cos^{2}\!\left(\frac{x}{2}\right)+\sin\!\left(\frac{x}{2}\right)=5.
Se alguém pedisse soluções complexas poderíamos seguir por extensão, mas para soluções reais a equação é impossível.

Resposta

Não existe solução real.

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