O enunciado pede a equação da reta que é a interseção entre os dois planos dados. Informações dadas:
\pi_{1}:\; x+y+z-1=0
\pi_{2}:\; x+z+8=0
Pergunta: determinar a reta (isto é, uma representação paramétrica, vetorial ou simétrica) que é exatamente o conjunto de pontos que satisfazem simultaneamente ambas as equações dos planos.
Passo 2
Para encontrar a reta de interseção, uma estratégia prática é:
obter um vetor diretor da reta como o produto vetorial (cross product) dos vetores normais dos planos;
encontrar um ponto que satisfaça as duas equações (um ponto da reta);
montar a equação paramétrica/vetorial da reta.
Primeiro, identificamos os vetores normais dos planos. O coeficiente de \,x,y,z em cada equação é o vetor normal:
Agora calculamos o produto vetorial \mathbf{v}=\mathbf{n}_1\times\mathbf{n}_2, que é um vetor perpendicular a ambos os normais e, portanto, paralelo à reta de interseção. Usamos a fórmula do determinante 3×3:
Assim y=9 para qualquer ponto da interseção, e z=-x-8. Podemos escolher um valor simples para x e obter um ponto concreto: se tomarmos x=0, então y=9 e z=-0-8=-8. Logo um ponto da reta é
P_0=(0,9,-8).
Passo 5
Com o vetor diretor \mathbf{v}=(1,0,-1) e o ponto P_0=(0,9,-8), escrevemos a forma paramétrica e a forma vetorial da reta. Seja o parâmetro t\in\mathbb{R} igual a variação em x. As equações paramétricas são:
x=t,\qquad y=9,\qquad z=-t-8.
A forma vetorial (usando vetor posição) fica:
(x,y,z)=(0,9,-8)+t(1,0,-1).
Se quisermos a forma simétrica, como a componente y do vetor diretor é 0, escrevemos separadamente a condição para y e a relação entre x e z:
y=9,\qquad x+z+8=0.
(Observação: a segunda equação é a própria equação de \pi_2, que restringe x e z na reta.)
Resposta
(x,y,z)=(0,9,-8)+t(1,0,-1),\; t\in\mathbb{R}
ou equivalentemente x=t,\; y=9,\; z=-t-8,\; t\in\mathbb{R}
ou ainda y=9 e x+z+8=0