6 { }^{\text {a }} Questāo: Seja a matriz A=\left[\begin{array}{lll}0 & 0 & 1 \\\\ 0 & 1 & 0 \\\\ 1 & 0 & 1\end{array}\right]. Ache |A|, e A^{-1}.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A=\begin{pmatrix}0 & 0 & 1 \\[4pt] 0 & 1 & 0 \\[4pt] 1 & 0 & 1\end{pmatrix}
e pede duas coisas: o determinante |A| e a inversa A^{-1}. As informações relevantes são só os elementos de A (já escritos acima). Nada mais é fornecido.]

Passo 2

Primeiro vamos achar |A|. Vou usar a expansão por cofatores (expansão pelo primeiro linha), porque a primeira linha tem dois zeros, o que deixa a conta bem simples.
Lembre que, para uma matriz 3\times3,
\det(A)=\sum_{j=1}^{3} a_{1j}(-1)^{1+j}M_{1j},
onde M_{1j} é o determinante do menor obtido eliminando a linha 1 e a coluna j.
Na nossa primeira linha temos a_{11}=0, a_{12}=0, a_{13}=1. Assim só o termo j=3 contribui:
\det(A)=a_{13}(-1)^{1+3}M_{13}.

Passo 3

Calculemos o menor M_{13}: eliminar a linha 1 e a coluna 3 deixa a submatriz
\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix},
cujo determinante é 0\cdot0-1\cdot1=-1. O sinal do cofator é (-1)^{1+3}=(-1)^4=1. Portanto
\det(A)=1\cdot 1 \cdot (-1) = -1.
Conclusão: |A| = -1. Como o determinante é diferente de zero, A é invertível.]

Passo 4

Agora vamos achar A^{-1}. Vou usar a fórmula
A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\operatorname{adj}(A),
onde \operatorname{adj}(A) é a transposta da matriz dos cofatores de A. Então precisamos calcular todos os cofatores C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}.
Calculo dos menores e cofatores (vou mostrar cada M_{ij} e então C_{ij}):
  • Para i=1,j=1: eliminar linha 1 coluna 1 dá \begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}, então M_{11}=1\cdot1-0\cdot0=1. Assim C_{11}=(-1)^{2}M_{11}=1.
  • Para i=1,j=2: eliminar linha 1 coluna 2 dá \begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt] 1 & 1\end{pmatrix}, então M_{12}=0\cdot1-0\cdot1=0. Assim C_{12}=(-1)^{3}M_{12}= -0 = 0.
  • Para i=1,j=3: eliminar linha 1 coluna 3 dá \begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix}, então M_{13}=0\cdot0-1\cdot1=-1. Assim C_{13}=(-1)^{4}M_{13}= -1.
  • Para i=2,j=1: eliminar linha 2 coluna 1 dá \begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}, então M_{21}=0\cdot1-1\cdot0=0. Assim C_{21}=(-1)^{3}M_{21}= -0 = 0.
  • Para i=2,j=2: eliminar linha 2 coluna 2 dá \begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt] 1 & 1\end{pmatrix}, então M_{22}=0\cdot1-1\cdot1=-1. Assim C_{22}=(-1)^{4}M_{22}= -1.
  • Para i=2,j=3: eliminar linha 2 coluna 3 dá \begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix}, então M_{23}=0\cdot0-0\cdot1=0. Assim C_{23}=(-1)^{5}M_{23}= -0 = 0.
  • Para i=3,j=1: eliminar linha 3 coluna 1 dá \begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix}, então M_{31}=0\cdot0-1\cdot1=-1. Assim C_{31}=(-1)^{4}M_{31}= -1.
  • Para i=3,j=2: eliminar linha 3 coluna 2 dá \begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix}, então M_{32}=0\cdot0-1\cdot0=0. Assim C_{32}=(-1)^{5}M_{32}= -0 = 0.
  • Para i=3,j=3: eliminar linha 3 coluna 3 dá \begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}, então M_{33}=0\cdot1-0\cdot0=0. Assim C_{33}=(-1)^{6}M_{33}= 0.]

Passo 5

A matriz dos cofatores é, portanto,
C=\begin{pmatrix}1 & 0 & -1\\[4pt] 0 & -1 & 0\\[4pt] -1 & 0 & 0\end{pmatrix}.
A adjunta (adjugate) é a transposta de C:
\operatorname{adj}(A)=C^{T}=\begin{pmatrix}1 & 0 & -1\\[4pt] 0 & -1 & 0\\[4pt] -1 & 0 & 0\end{pmatrix}.
Note que aqui C já é simétrica, então C^{T}=C.
Agora aplicamos a fórmula da inversa com \det(A)=-1:
A^{-1}=\frac{1}{-1}\operatorname{adj}(A)=-\operatorname{adj}(A).
Logo
A^{-1}=-\begin{pmatrix}1 & 0 & -1\\[4pt] 0 & -1 & 0\\[4pt] -1 & 0 & 0\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}-1 & 0 & 1\\[4pt] 0 & 1 & 0\\[4pt] 1 & 0 & 0\end{pmatrix}.]

Passo 6

Para ficar tranquilo na prova, uma verificação rápida: multiplicando A por esta matriz obtemos a identidade. Por exemplo, a primeira linha de A é (0,0,1) e multiplicando pela primeira coluna de A^{-1} que é (-1,0,1)^{T}
0\cdot(-1)+0\cdot0+1\cdot1=1,
e checando os outros elementos você obtém as entradas de I_{3}. Portanto a matriz acima é realmente A^{-1}.

Resposta

|A| = -1\n
A^{-1}=\begin{pmatrix}-1 & 0 & 1\\[4pt] 0 & 1 & 0\\[4pt] 1 & 0 & 0\end{pmatrix}]

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