Se \overrightarrow{A B}=(2,3,-1) e \overrightarrow{\mathbf{B C}}=(-2,0,4), quais as coordenadas do vetor \overrightarrow{A C} ?

Passo 1

O enunciado dá os dois vetores
\overrightarrow{A B}=(2,3,-1) e \overrightarrow{\mathbf{B C}}=(-2,0,4) e pede as coordenadas do vetor \overrightarrow{A C}.
Informações relevantes:
\overrightarrow{A B} é o vetor que vai de A para B com componentes (2,3,-1).
\overrightarrow{\mathbf{B C}} é o vetor que vai de B para C com componentes (-2,0,4).
O que se pede: encontrar as componentes do vetor \overrightarrow{A C}.

Passo 2

Conceito-chave (explicado devagarinho): quando temos três pontos A, B, C ligados na ordem A\to B\to C, o vetor que vai de A para C é a soma dos vetores A\to B e B\to C. Em símbolos:
\overrightarrow{A C}=\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}.
Isso vem da regra “cabeça-cauda” (ou “tip-to-tail”): colocar o início de \overrightarrow{B C} na ponta de \overrightarrow{A B}; o vetor que liga o início de \overrightarrow{A B} ao fim de \overrightarrow{B C} é \overrightarrow{A C}.

Passo 3

Como somar vetores em coordenadas: se
\vec{u}=(u_1,u_2,u_3) e \vec{v}=(v_1,v_2,v_3),
então a soma é feita componente a componente:
\vec{u}+\vec{v}=(u_1+v_1,\;u_2+v_2,\;u_3+v_3).
Aqui cada componente representa quanto o vetor se desloca em cada eixo x,y,z. Somar componentes significa combinar esses deslocamentos.

Passo 4

Aplicando a soma componente a componente aos vetores dados. Tomando
\overrightarrow{A B}=(2,3,-1) e \overrightarrow{B C}=(-2,0,4), temos
\overrightarrow{A C}=\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}=(2+(-2),\;3+0,\; -1+4).

Passo 5

Calcule cada componente separadamente, mostrando as contas:
Primeira componente: 2+(-2)=0.
Segunda componente: 3+0=3.
Terceira componente: -1+4=3.
Portanto as componentes de \overrightarrow{A C} são (0,3,3).

Resposta

(0,3,3)

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