1à Questão (3,5 pontos)

Uma empresa fabricante de componentes eletrônicos está realizando testes para estimar a vida útil dos seus capacitores eletrolíticos usados em fontes chaveadas. A vida útil é medida em horas até a falha do capacitor sob condições normais de operação. Foram testadas algumas unidades, e os resultados (em horas) da vida útil foram:
4000 4120 3950 4085 3980 4055 4200 4100
3900 3995 4150 4070 4025 4175 4005 4080
4030 3955 4110 4060 3990 4125 4010 4085
3975 4105 3998 4050 4035 4082
a) Teste, ao nível de significância de 1,35 \%, se a vida útil média dos capacitores é superior a 4000 horas, conforme o éspecificado pelo departamento de qualidade.
b) Calcule o valor-p do teste do item (a) e explique seu significado em termos de controle de qualidade.
c) Estime um intervalo de confiança de 92,45 \% para a vida útil média dos capacitores.
d) Caso a empresa deseje que o erro máximo na estimativa da vida média seja de 30 horas com 99,15 \% de confiança, qual o tamanho mínimo da amostra necessário para futuros testes?
e) A um nível de significância de 2,75 \%, podemos afirmar que a proporção de capacitores com vida útil superior a 4100 horas é maior que 40 \% ? Realize o teste de hipótese correspondente.

Passo 1

O enunciado fornece uma amostra das vidas úteis (em horas) de capacitores. Os dados, lidos da tabela do enunciado, são:
\begin{matrix} 4000, & 4120, & 3950, & 4085, & 3980, & 4055, & 4200, & 4100,\\\\ 3900, & 3995, & 4150, & 4070, & 4025, & 4175, & 4005, & 4080,\\\\ 4030, & 3955, & 4110, & 4060, & 3990, & 4125, & 4010, & 4085,\\\\ 3975, & 4105, & 3998, & 4050, & 4035, & 4082 \end{matrix}
Temos n=30 observações (contei os valores na tabela). O enunciado pede:
a) testar, ao nível de significância de 1,35\%, se a vida média \mu é superior a 4000 horas;
b) calcular o valor-p do teste do item (a) e interpretar para controle de qualidade;
c) construir um intervalo de confiança de 92,45\% para \mu;
d) determinar o tamanho mínimo da amostra para erro máximo E=30 horas com 99,15\% de confiança (usar o desvio amostral como estimativa da variabilidade);
e) ao nível de significância 2,75\%, testar se a proporção de capacitores com vida >4100 horas é maior que 40\%.
A partir daqui vou calcular passo a passo as estatísticas amostrais e realizar cada teste/intervalo.

Passo 2

Calcular a média amostral \bar{x} e o desvio padrão amostral s. Vou mostrar as fórmulas e aplicar aos dados.
Fórmula da média amostral:
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i.
Somando os 30 valores (soma obtida diretamente dos dados da tabela) temos \sum_{i=1}^{30} x_i = 121500. Logo
\bar{x}=\frac{121500}{30}=4050.
Fórmula da variância amostral (amostra não-viesada) e do desvio padrão:
s^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2, \qquad s=\sqrt{s^2}.
Calculei as diferenças x_i-\bar{x}, seus quadrados e somei; a soma dos quadrados das diferenças deu \sum_{i=1}^{30}(x_i-\bar{x})^2 = 141428. Portanto
s^2=\frac{141428}{29}\approx 4876{,}8276, \qquad s\approx \sqrt{4876{,}8276}\approx 69{,}834.
Resumo das estatísticas amostrais que usaremos:
n=30,\quad \bar{x}=4050,\quad s\approx 69{,}834.

Passo 3

Item (a): teste se a vida média é superior a 4000 horas ao nível \alpha=1{,}35\% = 0{,}0135.
  1. Formular as hipóteses (teste unilateral à direita):
H_0:\mu=4000,\qquad H_1:\mu>4000.
  1. Justificativa do método: a variância populacional é desconhecida e n=30 é moderado, então usamos o teste t de Student unicam. A estatística de teste é
t=\frac{\bar{x}-\mu_0}{s/\sqrt{n}},
onde \mu_0=4000.
  1. Calcular t:
t=\frac{4050-4000}{69{,}834/\sqrt{30}}=\frac{50}{69{,}834/5{,}4772}\approx\frac{50}{12{,}749}\approx 3{,}922.
O grau de liberdade é df=n-1=29.
  1. Determinar a região crítica: para um teste unilateral à direita com \alpha=0{,}0135 o valor crítico é t_{1-\alpha,\,29}=t_{0{,}9865,\,29}. Interpolando tabelas de Student, obtemos aproximadamente
t_{\text{crit}}\approx 2{,}365.
Observação: o valor crítico específico pode variar ligeiramente conforme a tabela; usei interpolação entre quantis usuais da tabela t.
  1. Decisão: como t_{\text{obs}}\approx 3{,}922 > t_{\text{crit}}\approx 2{,}365, rejeitamos H_0. Conclusão: ao nível de significância 1{,}35\% há evidência suficiente para afirmar que a vida média dos capacitores é superior a 4000 horas.
Explicação didática curta: usamos o t porque não conhecemos a variância populacional; a estatística mede quantos desvios-padrão da média amostral estamos acima do valor hipotético 4000. Como estamos muito acima do ponto crítico, a evidência é forte.

Passo 4

Item (b): cálculo do valor-p (p-value) do teste do item (a) e interpretação.
  1. Definição: para um teste unilateral à direita, o valor-p é
\text{p-valor}=P\big(T_{29}\ge t_{\text{obs}}\big),
onde T_{29} tem distribuição t com 29 graus de liberdade e t_{\text{obs}}\approx 3{,}922.
  1. Cálculo aproximado: tabelas usuais mostram que para df=29 valores de t na faixa de 3{,}6 a 3{,}9 correspondem a p-valores muito pequenos (menores que 0{,}001). Usando aproximação pela normal para ter um número prático, P(Z>3{,}922)\approx 4{,}4\times 10^{-5}. A distribuição t_{29} tem cauda um pouco mais pesada que a normal, então o p-valor exato é um pouco maior que esse, mas ainda extremamente pequeno. Portanto podemos escrever, com boa aproximação:
\text{p-valor}\approx 4{,}4\cdot 10^{-5}\\ (\text{aprox.})\quad\text{(muito menor que }0{,}0135\text{)}.
  1. Interpretação em controle de qualidade: o p-valor é a probabilidade, assumindo que a verdadeira vida média é exatamente 4000 horas, de observarmos uma média amostral tão alta quanto 4050 (ou mais) apenas por variação amostral. Um p-valor tão pequeno indica que é extremamente improvável obter esse resultado se a média real fosse 4000, logo há forte evidência de que a média real é maior. Para controle de qualidade isso significa que, com base nessa amostra, a empresa pode acreditar com altíssima confiança que os capacitores superam a meta de 4000 horas.

Passo 5

Item (c): intervalo de confiança de 92{,}45\% para a média \mu.
  1. Fórmula do intervalo (t-distribuído, porque \sigma desconhecido):
\bar{x}\pm t_{1-\alpha/2,\,n-1}\cdot\frac{s}{\sqrt{n}},
onde o nível de confiança é 1-\alpha=0{,}9245, então \alpha=0{,}0755 e \alpha/2=0{,}03775. Precisamos de t_{1-\alpha/2,\,29}=t_{0{,}96225,\,29}.
  1. Determinar t_{0{,}96225,\,29} por interpolação entre quantis usuais: obtive aproximadamente
t_{0{,}96225,\,29}\approx 1{,}869.
  1. Calcular a margem de erro:
\text{ME}=t_{0{,}96225,29}\cdot\frac{s}{\sqrt{n}} \approx 1{,}869\cdot\frac{69{,}834}{\sqrt{30}} \approx 1{,}869\cdot 12{,}749\approx 23{,}82.
  1. Intervalo de confiança:
\bigl(\bar{x}-\text{ME},\\ \bar{x}+\text{ME}\bigr) =(4050-23{,}82,\\\ 4050+23{,}82) \approx (4026{,}18,\\\ 4073{,}82).
Interpretação curta: com 92{,}45\% de confiança, a média da vida útil está entre aproximadamente 4026{,}18 e 4073{,}82 horas.

Passo 6

Item (d): tamanho mínimo de amostra para erro máximo E=30 horas com confiança 99{,}15\%.
  1. Método e fórmula: quando planejamos tamanho de amostra usando estimativa do desvio padrão (aqui usamos s como proxy de \sigma), a fórmula aproximada (usando quantil normal, prática usual para planejamento) é
n\approx\left(\frac{z_{1-\alpha/2}\,\sigma}{E}\right)^2,
onde 1-\alpha=0{,}9915\Rightarrow \alpha=0{,}0085 e \alpha/2=0{,}00425. Usamos \sigma\approx s\approx 69{,}834.
  1. Determinar z_{1-\alpha/2}=z_{0{,}99575}. Interpolando valores da normal padrão, obtemos aproximadamente
z_{0{,}99575}\approx 2{,}645.
  1. Calcular n:
n\approx\left(\frac{2{,}645\cdot 69{,}834}{30}\right)^2 \approx\left(\frac{184{,}694}{30}\right)^2 \approx (6{,}1565)^2\approx 37{,}91.
Arredondamos para cima (porque precisamos de pelo menos esse número de observações):
n_{\min}=38.
Comentário: se quisermos ser mais conservadores poderíamos usar a t de Student quando já soubéssemos um n aproximado, mas para planejamento inicial usa-se o z e arredonda-se para cima.

Passo 7

Item (e): testar, ao nível \alpha=2{,}75\%=0{,}0275, se a proporção de capacitores com vida superior a 4100 horas é maior que 40\%.
  1. Primeiro, contar quantos valores >4100 foram observados (dados tomados da tabela): identifiquei os seguintes valores >4100:
4120,\\\ 4200,\\\ 4150,\\\ 4175,\\\ 4110,\\\ 4125,\\\ 4105,
totalizando x=7 sucessos em n=30. (Aqui explicitamente peguei os dados da tabela do enunciado.)
  1. Proporção amostral:
\hat{p}=\frac{7}{30}=0{,}2333\\ \text{(aprox.)}.
  1. Hipóteses (teste unilateral à direita):
H_0:p=0{,}40,\qquad H_1:p>0{,}40.
  1. Teste-z para proporção (aproximação normal sob H_0):
z=\frac{\hat{p}-p_0}{\sqrt{p_0(1-p_0)/n}} =\frac{0{,}2333-0{,}40}{\sqrt{0{,}4\cdot 0{,}6/30}} =\frac{-0{,}1667}{\sqrt{0{,}24/30}}.
Calculemos o denominador: \sqrt{0{,}24/30}=\sqrt{0{,}008}} \approx 0{,}089443. Assim
z\approx \frac{-0{,}1667}{0{,}089443}\approx -1{,}864.
  1. Região crítica: para um teste à direita com \alpha=0{,}0275 o quantil crítico é z_{1-\alpha}\approx z_{0{,}9725}\approx 1{,}920 (interpolação). Nosso z observado é negativo ( -1{,}864), muito menor que 1{,}920, então definitivamente não está na região de rejeição.
  2. p-valor: para teste unilateral à direita, p-valor =P(Z\ge z_{\text{obs}}). Como z_{\text{obs}}=-1{,}864,
\text{p-valor}=P(Z\ge -1{,}864)=\Phi(1{,}864)\approx 0{,}969.
(ou seja, p-valor muito grande; se o resultado amostral é menor que a hipótese nula, o p-valor para a alternativa unilateral à direita é >0{,}5.)
  1. Decisão e interpretação: como p-valor \approx 0{,}969\gg 0{,}0275, não rejeitamos H_0. Conclusão: não há evidência de que a proporção de capacitores com vida >4100 horas seja maior que 40\%; na verdade a amostra sugere uma proporção menor (aprox. 23{,}3\%).

Resposta

(a) Rejeita-se H_0; há evidência ao nível 1{,}35\% de que \mu>4000 horas.
(b) \text{p-valor}\approx 4{,}4\cdot 10^{-5} (aprox.). Significado: probabilidade extremamente pequena de observar média \ge4050 se \mu=4000; forte evidência de que a média supera 4000 horas (controle de qualidade confirma desempenho superior).
(c) Intervalo de confiança de 92{,}45\%: aproximadamente (4026{,}18,\\\ 4073{,}82) horas.
(d) Tamanho mínimo da amostra requerido: n_{\min}=38.
(e) Proporção amostral \hat{p}=7/30\approx 0{,}2333. Estatística z\approx -1{,}864. \text{p-valor}\approx 0{,}969. Conclusão ao nível 2{,}75\%: não, não podemos afirmar que a proporção seja maior que 40\% (falha em rejeitar H_0).

Exercícios relacionados