1à Questão (3,5 pontos)
Uma empresa fabricante de componentes eletrônicos está realizando testes para estimar a vida útil dos seus capacitores eletrolíticos usados em fontes chaveadas. A vida útil é medida em horas até a falha do capacitor sob condições normais de operação. Foram testadas algumas unidades, e os resultados (em horas) da vida útil foram:
4000
4120
3950
4085
3980
4055
4200
4100
3900
3995
4150
4070
4025
4175
4005
4080
4030
3955
4110
4060
3990
4125
4010
4085
3975
4105
3998
4050
4035
4082
a) Teste, ao nível de significância de
, se a vida útil média dos capacitores é superior a 4000 horas, conforme o éspecificado pelo departamento de qualidade.
b) Calcule o valor-p do teste do item (a) e explique seu significado em termos de controle de qualidade.
c) Estime um intervalo de confiança de
para a vida útil média dos capacitores.
d) Caso a empresa deseje que o erro máximo na estimativa da vida média seja de 30 horas com
de confiança, qual o tamanho mínimo da amostra necessário para futuros testes?
e) A um nível de significância de
, podemos afirmar que a proporção de capacitores com vida útil superior a 4100 horas é maior que
? Realize o teste de hipótese correspondente.
| 4000 | 4120 | 3950 | 4085 | 3980 | 4055 | 4200 | 4100 |
| 3900 | 3995 | 4150 | 4070 | 4025 | 4175 | 4005 | 4080 |
| 4030 | 3955 | 4110 | 4060 | 3990 | 4125 | 4010 | 4085 |
| 3975 | 4105 | 3998 | 4050 | 4035 | 4082 |
b) Calcule o valor-p do teste do item (a) e explique seu significado em termos de controle de qualidade.
c) Estime um intervalo de confiança de
d) Caso a empresa deseje que o erro máximo na estimativa da vida média seja de 30 horas com
e) A um nível de significância de
Passo 1
O enunciado fornece uma amostra das vidas úteis (em horas) de capacitores. Os dados, lidos da tabela do enunciado, são:
Temos
observações (contei os valores na tabela). O enunciado pede:
a) testar, ao nível de significância de , se a vida média
é superior a
horas;
b) calcular o valor-p do teste do item (a) e interpretar para controle de qualidade;
c) construir um intervalo de confiança de para
;
d) determinar o tamanho mínimo da amostra para erro máximo horas com
de confiança (usar o desvio amostral como estimativa da variabilidade);
e) ao nível de significância , testar se a proporção de capacitores com vida
horas é maior que
.
a) testar, ao nível de significância de
b) calcular o valor-p do teste do item (a) e interpretar para controle de qualidade;
c) construir um intervalo de confiança de
d) determinar o tamanho mínimo da amostra para erro máximo
e) ao nível de significância
A partir daqui vou calcular passo a passo as estatísticas amostrais e realizar cada teste/intervalo.
Passo 2
Calcular a média amostral
e o desvio padrão amostral
. Vou mostrar as fórmulas e aplicar aos dados.
Fórmula da média amostral:
Somando os
valores (soma obtida diretamente dos dados da tabela) temos
. Logo
Fórmula da variância amostral (amostra não-viesada) e do desvio padrão:
Calculei as diferenças
, seus quadrados e somei; a soma dos quadrados das diferenças deu
. Portanto
Resumo das estatísticas amostrais que usaremos:
Passo 3
Item (a): teste se a vida média é superior a
horas ao nível
.
- Formular as hipóteses (teste unilateral à direita):
- Justificativa do método: a variância populacional é desconhecida e
é moderado, então usamos o teste t de Student unicam. A estatística de teste é
onde
.
- Calcular
:
O grau de liberdade é
.
- Determinar a região crítica: para um teste unilateral à direita com
o valor crítico é . Interpolando tabelas de Student, obtemos aproximadamente
Observação: o valor crítico específico pode variar ligeiramente conforme a tabela; usei interpolação entre quantis usuais da tabela
.
- Decisão: como
, rejeitamos . Conclusão: ao nível de significância há evidência suficiente para afirmar que a vida média dos capacitores é superior a horas.
Explicação didática curta: usamos o t porque não conhecemos a variância populacional; a estatística mede quantos desvios-padrão da média amostral estamos acima do valor hipotético
. Como estamos muito acima do ponto crítico, a evidência é forte.
Passo 4
Item (b): cálculo do valor-p (p-value) do teste do item (a) e interpretação.
- Definição: para um teste unilateral à direita, o valor-p é
onde
tem distribuição
com
graus de liberdade e
.
- Cálculo aproximado: tabelas usuais mostram que para
valores de na faixa de a correspondem a p-valores muito pequenos (menores que ). Usando aproximação pela normal para ter um número prático, . A distribuição tem cauda um pouco mais pesada que a normal, então o p-valor exato é um pouco maior que esse, mas ainda extremamente pequeno. Portanto podemos escrever, com boa aproximação:
- Interpretação em controle de qualidade: o p-valor é a probabilidade, assumindo que a verdadeira vida média é exatamente
horas, de observarmos uma média amostral tão alta quanto (ou mais) apenas por variação amostral. Um p-valor tão pequeno indica que é extremamente improvável obter esse resultado se a média real fosse , logo há forte evidência de que a média real é maior. Para controle de qualidade isso significa que, com base nessa amostra, a empresa pode acreditar com altíssima confiança que os capacitores superam a meta de horas.
Passo 5
Item (c): intervalo de confiança de
para a média
.
- Fórmula do intervalo (t-distribuído, porque
desconhecido):
onde o nível de confiança é
, então
e
. Precisamos de
.
- Determinar
por interpolação entre quantis usuais: obtive aproximadamente
- Calcular a margem de erro:
- Intervalo de confiança:
Interpretação curta: com
de confiança, a média da vida útil está entre aproximadamente
e
horas.
Passo 6
Item (d): tamanho mínimo de amostra para erro máximo
horas com confiança
.
- Método e fórmula: quando planejamos tamanho de amostra usando estimativa do desvio padrão (aqui usamos
como proxy de ), a fórmula aproximada (usando quantil normal, prática usual para planejamento) é
onde
e
. Usamos
.
- Determinar
. Interpolando valores da normal padrão, obtemos aproximadamente
- Calcular
:
Arredondamos para cima (porque precisamos de pelo menos esse número de observações):
Comentário: se quisermos ser mais conservadores poderíamos usar a t de Student quando já soubéssemos um
aproximado, mas para planejamento inicial usa-se o z e arredonda-se para cima.
Passo 7
Item (e): testar, ao nível
, se a proporção de capacitores com vida superior a
horas é maior que
.
- Primeiro, contar quantos valores
foram observados (dados tomados da tabela): identifiquei os seguintes valores :
totalizando
sucessos em
. (Aqui explicitamente peguei os dados da tabela do enunciado.)
- Proporção amostral:
- Hipóteses (teste unilateral à direita):
- Teste-z para proporção (aproximação normal sob
):
Calculemos o denominador:
. Assim
-
Região crítica: para um teste à direita com
o quantil crítico é (interpolação). Nosso observado é negativo ( ), muito menor que , então definitivamente não está na região de rejeição. -
p-valor: para teste unilateral à direita, p-valor
. Como ,
(ou seja, p-valor muito grande; se o resultado amostral é menor que a hipótese nula, o p-valor para a alternativa unilateral à direita é >0{,}5.)
- Decisão e interpretação: como p-valor
, não rejeitamos . Conclusão: não há evidência de que a proporção de capacitores com vida horas seja maior que ; na verdade a amostra sugere uma proporção menor (aprox. ).
Resposta
(a) Rejeita-se
; há evidência ao nível
de que
horas.
(b) (aprox.). Significado: probabilidade extremamente pequena de observar média
se
; forte evidência de que a média supera
horas (controle de qualidade confirma desempenho superior).
(c) Intervalo de confiança de : aproximadamente
horas.
(d) Tamanho mínimo da amostra requerido: .
(e) Proporção amostral . Estatística
.
. Conclusão ao nível
: não, não podemos afirmar que a proporção seja maior que
(falha em rejeitar
).
(b)
(c) Intervalo de confiança de
(d) Tamanho mínimo da amostra requerido:
(e) Proporção amostral