{ }^{\mathbf{2}} Questão (3,25 pontos)

Uma equipe de engenheiros elétricos está avaliando o desempenho térmico de isoladores cerâmicos de alta tensão, usados em linhas de transmissão. Em testes de laboratório, foram medidas as temperaturas (em { }^{\circ} \mathrm{F} ) nas quais ocorre deformação térmica sob carga crítica. São coletadas as seguintes temperaturas.
193 196 190 198 194 197 191 192 200 199
196 194 193 197 195 198 192 194 190 191
195 193 196 192 190 199 198 193 194 192
a) A norma técnica estabelece que os isoladores devem resistir até, no mínimo, 195^{\circ} \mathrm{F} antes de qualquer deflexão térmica significativa. Com nível de significância de 1,2 \%, os dados sugerem que a temperatura média de falha é inferior a 195^{\circ} \mathrm{F} ? Apresente o teste de hipótese com a devida justificativa.
b) Calcule o valor-p do teste realizado no item (a) e interprete seu significado no contexto da segurança operacional dos isoladores.
c) Estime, com 99,5 \% de confiança, a temperatura média de falha térmica dos isoladores. Comente se o intervalo atende às exigências da norma.
d) A equipe técnica deseja que o erro máximo de estimação da média não exceda 1,5^{\circ} \mathrm{F}, com nível de confiança de 94,5 \%. Qual deve ser o tamanho mínimo da amostra necessário para atender a esse critério?

Passo 1

O enunciado fornece uma amostra com as temperaturas (em °F) nas quais ocorre deformação térmica sob carga crítica. As informações relevantes são:
\begin{array}{l} \text{Dados (30 observações): }193,196,190,198,194,197,191,192,200,199,\\\ \quad196,194,193,197,195,198,192,194,190,191,\\\ \quad195,193,196,192,190,199,198,193,194,192. \end{array}çõ
As perguntas são:
(a) Testar, com nível de significância 1{,}2\% (ou seja, \alpha=0{,}012), se a temperatura média de falha é inferior a 195^\circ\text{F}.
(b) Calcular o valor-p do teste do item (a) e interpretar no contexto da segurança.
(c) Estimar, com 99{,}5\% de confiança, a temperatura média de falha e comentar se o intervalo atende à norma.
(d) Determinar o tamanho mínimo da amostra para erro máximo da média E=1{,}5^\circ\text{F} com nível de confiança 94{,}5\%.

Passo 2

Calcular o número de observações e a média amostral. Contamos n=30 observações. Soma das observações (fiz a soma explícita dos 30 números):
\sum_{i=1}^{30} x_i = 5\,832.
Portanto a média amostral é
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i=\frac{5\,832}{30}=194{,}4\;^\circ\text{F}.
Comentário rápido: \bar{x} é a estimativa natural da média populacional \mu.

Passo 3

Calcular a variância amostral e o desvio-padrão amostral. Primeiro calculei a soma dos quadrados:
\sum_{i=1}^{30} x_i^2 = 1\,133\,988.
Usamos a fórmula da variância amostral (não-viesada):
s^2=\frac{1}{n-1}\Biggl(\sum_{i=1}^{n}x_i^2 - n\bar{x}^2\Biggr).
Substituindo:
\bar{x}^2=(194{,}4)^2=37\,791{,}36,
n\bar{x}^2=30\cdot37\,791{,}36=1\,133\,740{,}8,
\sum x_i^2 - n\bar{x}^2=1\,133\,988 - 1\,133\,740{,}8 = 247{,}2.
Logo
s^2=\frac{247{,}2}{29}=8{,}5241379\ldots
e o desvio-padrão amostral é
s=\sqrt{s^2}\approx2{,}9186\;^\circ\text{F}.
Explicação didática: s mede a dispersão dos dados em torno de \bar{x}; usamos n-1 no denominador para obter estimador não-viesado.

Passo 4

Escolha do teste e formulação das hipóteses (a). A norma exige que a média seja pelo menos 195^\circ\text{F}. Queremos testar se a média é inferior a 195^\circ\text{F}. Como a variância populacional é desconhecida usamos o teste t de Student para a média. As hipóteses são:
H_0:\mu=195\qquad\text{vs.}\qquad H_a:\mu<195.
É um teste unilateral à esquerda com nível \alpha=0{,}012. Regra prática: rejeitar H_0 se a estatística t for suficientemente pequena (negativa) ou se o valor-p for menor que \alpha.

Passo 5

Definir a estatística de teste e calcular seu valor. A estatística t é
t=\frac{\bar{x}-\mu_0}{s/\sqrt{n}},
onde \mu_0=195, \bar{x}=194{,}4, s\approx2{,}9186 e n=30. Calculando:
s/\sqrt{n}=\frac{2{,}9186}{\sqrt{30}}\approx\frac{2{,}9186}{5{,}4772}\approx0{,}5328,
t=\frac{194{,}4-195}{0{,}5328}=\frac{-0{,}6}{0{,}5328}\approx-1{,}1267.
Graus de liberdade: df=n-1=29.

Passo 6

Decisão do teste (a) usando valor-p (método recomendado). Calculamos o valor-p unilateral (área da cauda esquerda) para t=-1{,}1267 com 29 graus de liberdade. Aproximação do valor-p:
\text{valor-p}\approx 0{,}136\\ (\text{aprox. }13{,}6\%).
Justificação: esse valor-p é muito maior que \alpha=0{,}012. Portanto não rejeitamos H_0. Conclusão em palavras: com nível de significância 1{,}2\% não há evidência estatística de que a temperatura média de falha seja inferior a 195^\circ\text{F}. Em termos operacionais: não podemos concluir que os isoladores falham, em média, abaixo do limite normativo — ou seja, os dados não provam que a média esteja abaixo do exigido.

Passo 7

Interpretação do valor-p (item b). O valor-p aproximado é 0{,}136. Significado: se a verdadeira média fosse \mu=195^\circ\text{F}, a probabilidade de obter uma média amostral tão baixa (ou mais baixa) quanto a observada corresponde a cerca de 13{,}6\%. Isso é uma probabilidade relativamente alta, portanto o resultado observado não é suficientemente raro para rejeitar a hipótese de conformidade com a norma ao nível exigido. Em termos de segurança operacional: os dados não fornecem evidência forte de que os isoladores sejam mais fracos que o padrão; não há motivo estatístico, a partir desta amostra, para concluir que a média real esteja abaixo de 195^\circ\text{F}.

Passo 8

Intervalo de confiança de 99{,}5\% para a média (item c). Fórmula do intervalo t-Student:
\bar{x}\pm t_{1-\alpha/2,\,df}\cdot\frac{s}{\sqrt{n}}.
Aqui \alpha=1-0{,}995=0{,}005, então \alpha/2=0{,}0025 e procuramos t_{0{,}9975,29}. A partir de tabelas de t (ou calculadora), um valor aproximado é
t_{0{,}9975,29}\approx 3{,}03.
Margem de erro:
\text{ME}=3{,}03\cdot\frac{2{,}9186}{\sqrt{30}}\approx3{,}03\cdot0{,}5328\approx1{,}61.
Portanto o intervalo de 99{,}5\% é
\bar{x}\pm\text{ME}=194{,}4\pm1{,}61,
isto é
(192{,}79,\;196{,}01)\;^\circ\text{F}\quad(\text{aprox.}).
Comentário sobre a norma: esse intervalo contém o valor 195^\circ\text{F} e também valores menores que 195^\circ\text{F}. Assim, com 99{,}5\% de confiança não podemos afirmar que a média excede 195^\circ\text{F} — o intervalo não garante que a média esteja acima do limite normativo.

Passo 9

Tamanho da amostra desejado (item d). Desejam erro máximo E=1{,}5^\circ\text{F} com confiança 94{,}5\%. Como a variância populacional é desconhecida usamos o desvio amostral s\approx2{,}9186 como estimativa para \sigma e a aproximação pelo normal (prática comum para cálculo preliminar de n). Fórmula aproximada:
n\approx\left(\frac{z_{1-\alpha/2}\,\sigma}{E}\right)^2,
onde o nível de confiança é 94{,}5\% \Rightarrow \alpha=0{,}055, então \alpha/2=0{,}0275 e z_{1-\alpha/2}=z_{0{,}9725}\approx1{,}93 (valor da normal padrão). Substituindo \sigma\approx s,
n\approx\left(\frac{1{,}93\cdot2{,}9186}{1{,}5}\right)^2 =\left(\frac{5{,}6339}{1{,}5}\right)^2 =(3{,}7559)^2\approx14{,}11.
Arredondando para cima (para garantir erro máximo não excedido), o tamanho mínimo necessário é
n_{\min}=15.
Observação: se preferir usar abordagem exata com distribuição t, pode-se iterar aumentando ligeiramente n; o resultado costuma ficar próximo a 15.

Resposta

(a) Não rejeita H_0. Estatística t\approx-1{,}1267; conclusão: não há evidência, ao nível \alpha=0{,}012, de que \mu<195^\circ\text{F}.
(b) Valor-p \approx 0{,}136 (13,6%); interpretação: probabilidade relativamente alta de obter uma média tão baixa sob \mu=195^\circ\text{F}, logo os dados não mostram falha do padrão.
(c) Intervalo de 99{,}5\%: (192{,}79,\;196{,}01)\;^\circ\text{F} (aprox.). Comentário: o intervalo inclui valores abaixo de 195^\circ\text{F}, portanto não garante atendimento pleno à norma.
(d) Tamanho mínimo da amostra: n_{\min}=15.

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