Questão (3,25 pontos)
Uma equipe de engenheiros elétricos está avaliando o desempenho térmico de isoladores cerâmicos de alta tensão, usados em linhas de transmissão. Em testes de laboratório, foram medidas as temperaturas (em
) nas quais ocorre deformação térmica sob carga crítica. São coletadas as seguintes temperaturas.
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200
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190
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198
193
194
192
a) A norma técnica estabelece que os isoladores devem resistir até, no mínimo,
antes de qualquer deflexão térmica significativa. Com nível de significância de
, os dados sugerem que a temperatura média de falha é inferior a
? Apresente o teste de hipótese com a devida justificativa.
b) Calcule o valor-p do teste realizado no item (a) e interprete seu significado no contexto da segurança operacional dos isoladores.
c) Estime, com
de confiança, a temperatura média de falha térmica dos isoladores. Comente se o intervalo atende às exigências da norma.
d) A equipe técnica deseja que o erro máximo de estimação da média não exceda
, com nível de confiança de
. Qual deve ser o tamanho mínimo da amostra necessário para atender a esse critério?
| 193 | 196 | 190 | 198 | 194 | 197 | 191 | 192 | 200 | 199 |
| 196 | 194 | 193 | 197 | 195 | 198 | 192 | 194 | 190 | 191 |
| 195 | 193 | 196 | 192 | 190 | 199 | 198 | 193 | 194 | 192 |
b) Calcule o valor-p do teste realizado no item (a) e interprete seu significado no contexto da segurança operacional dos isoladores.
c) Estime, com
d) A equipe técnica deseja que o erro máximo de estimação da média não exceda
Passo 1
O enunciado fornece uma amostra com as temperaturas (em °F) nas quais ocorre deformação térmica sob carga crítica. As informações relevantes são:
As perguntas são:
(a) Testar, com nível de significância (ou seja,
), se a temperatura média de falha é inferior a
.
(b) Calcular o valor-p do teste do item (a) e interpretar no contexto da segurança.
(c) Estimar, com de confiança, a temperatura média de falha e comentar se o intervalo atende à norma.
(d) Determinar o tamanho mínimo da amostra para erro máximo da média com nível de confiança
.
(a) Testar, com nível de significância
(b) Calcular o valor-p do teste do item (a) e interpretar no contexto da segurança.
(c) Estimar, com
(d) Determinar o tamanho mínimo da amostra para erro máximo da média
Passo 2
Calcular o número de observações e a média amostral. Contamos
observações. Soma das observações (fiz a soma explícita dos 30 números):
Portanto a média amostral é
Comentário rápido:
é a estimativa natural da média populacional
.
Passo 3
Calcular a variância amostral e o desvio-padrão amostral. Primeiro calculei a soma dos quadrados:
Usamos a fórmula da variância amostral (não-viesada):
Substituindo:
Logo
e o desvio-padrão amostral é
Explicação didática:
mede a dispersão dos dados em torno de
; usamos
no denominador para obter estimador não-viesado.
Passo 4
Escolha do teste e formulação das hipóteses (a). A norma exige que a média seja pelo menos
. Queremos testar se a média é inferior a
. Como a variância populacional é desconhecida usamos o teste t de Student para a média. As hipóteses são:
É um teste unilateral à esquerda com nível
. Regra prática: rejeitar
se a estatística t for suficientemente pequena (negativa) ou se o valor-p for menor que
.
Passo 5
Definir a estatística de teste e calcular seu valor. A estatística t é
onde
,
,
e
. Calculando:
Graus de liberdade:
.
Passo 6
Decisão do teste (a) usando valor-p (método recomendado). Calculamos o valor-p unilateral (área da cauda esquerda) para
com
graus de liberdade. Aproximação do valor-p:
Justificação: esse valor-p é muito maior que
. Portanto não rejeitamos
. Conclusão em palavras: com nível de significância
não há evidência estatística de que a temperatura média de falha seja inferior a
. Em termos operacionais: não podemos concluir que os isoladores falham, em média, abaixo do limite normativo — ou seja, os dados não provam que a média esteja abaixo do exigido.
Passo 7
Interpretação do valor-p (item b). O valor-p aproximado é
. Significado: se a verdadeira média fosse
, a probabilidade de obter uma média amostral tão baixa (ou mais baixa) quanto a observada corresponde a cerca de
. Isso é uma probabilidade relativamente alta, portanto o resultado observado não é suficientemente raro para rejeitar a hipótese de conformidade com a norma ao nível exigido. Em termos de segurança operacional: os dados não fornecem evidência forte de que os isoladores sejam mais fracos que o padrão; não há motivo estatístico, a partir desta amostra, para concluir que a média real esteja abaixo de
.
Passo 8
Intervalo de confiança de
para a média (item c). Fórmula do intervalo t-Student:
Aqui
, então
e procuramos
. A partir de tabelas de t (ou calculadora), um valor aproximado é
Margem de erro:
Portanto o intervalo de
é
isto é
Comentário sobre a norma: esse intervalo contém o valor
e também valores menores que
. Assim, com
de confiança não podemos afirmar que a média excede
— o intervalo não garante que a média esteja acima do limite normativo.
Passo 9
Tamanho da amostra desejado (item d). Desejam erro máximo
com confiança
. Como a variância populacional é desconhecida usamos o desvio amostral
como estimativa para
e a aproximação pelo normal (prática comum para cálculo preliminar de
). Fórmula aproximada:
onde o nível de confiança é
, então
e
(valor da normal padrão). Substituindo
,
Arredondando para cima (para garantir erro máximo não excedido), o tamanho mínimo necessário é
Observação: se preferir usar abordagem exata com distribuição t, pode-se iterar aumentando ligeiramente
; o resultado costuma ficar próximo a
.
Resposta
(a) Não rejeita
. Estatística
; conclusão: não há evidência, ao nível
, de que
.
(b) Valor-p (13,6%); interpretação: probabilidade relativamente alta de obter uma média tão baixa sob
, logo os dados não mostram falha do padrão.
(c) Intervalo de :
(aprox.). Comentário: o intervalo inclui valores abaixo de
, portanto não garante atendimento pleno à norma.
(d) Tamanho mínimo da amostra: .
(b) Valor-p
(c) Intervalo de
(d) Tamanho mínimo da amostra: