3.1B Calcule as seguintes integrais iteradas e em cada caso esboce a região de integração. Inverta a ordem de integração e compare o grau de dificuldade no cálculo da integral nas duas ordens.
(a) integral0^1 integral0^|x| d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral iterada
integral0^1integral0^|x|dy,dx
e para cada ordem de integração esboçar a região no plano xy, inverter a ordem de integração e comparar a dificuldade de cálculo. O conteúdo envolve integração dupla em coordenadas cartesianas e troca de ordem de integração.

Passo 2

Como x varia de 0 a 1, temos |x|=x. Logo a região R é
R=(x,y)mid 0<= x<=1,;0<= y<= x,
que é um triângulo com vértices (0,0), (1,0) e (1,1).

Passo 3

Calculemos na ordem dada:
integral0^1l(integral0^xdyr)dx
A integral interna em y é
integral0^xdy = x - 0 = x
Logo resta
integral0^1x,dx = l[tfracx^22r]0^1 = tfrac12

Passo 4

Para inverter a ordem, percebemos que, para cada y em [0,1], x vai de y até 1. Assim
R=(x,y)mid 0<= y<=1,;y<= x<=1
e a integral invertida é
integral0^1l(integraly^1dxr)dy

Passo 5

Calculemos na ordem invertida:
integral0^1(1 - y),dy = l[y - tfracy^22r]0^1 = 1 - tfrac12 = tfrac12

Passo 6

Em ambas as ordens a integral se reduz a integrais polinomiais de grau 1, com mesma simplicidade. Não há ganho significativo de dificuldade nem de simplicidade ao trocar a ordem.

Resposta

O valor da integral em qualquer ordem é tfrac12.
As duas ordens de integração têm dificuldade equivalente.

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