3.1B Calcule as seguintes integrais iteradas e em cada caso esboce a região de integração. Inverta a ordem de integração e compare o grau de dificuldade no cálculo da integral nas duas ordens.
(a)
(a)
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral iterada
e para cada ordem de integração esboçar a região no plano
, inverter a ordem de integração e comparar a dificuldade de cálculo. O conteúdo envolve integração dupla em coordenadas cartesianas e troca de ordem de integração.
Passo 2
Como
varia de
a
, temos
. Logo a região
é
que é um triângulo com vértices
,
e
.
Passo 3
Calculemos na ordem dada:
A integral interna em
é
Logo resta
Passo 4
Para inverter a ordem, percebemos que, para cada
em
,
vai de
até
. Assim
e a integral invertida é
Passo 5
Calculemos na ordem invertida:
Passo 6
Em ambas as ordens a integral se reduz a integrais polinomiais de grau 1, com mesma simplicidade. Não há ganho significativo de dificuldade nem de simplicidade ao trocar a ordem.
Resposta
O valor da integral em qualquer ordem é
.
As duas ordens de integração têm dificuldade equivalente.
As duas ordens de integração têm dificuldade equivalente.