3.2C Por integração dupla, calcule a área da região compreendida entre a cardióide r= a(1+sen theta) e o círculo r=a

Passo 1

O enunciado pede a área da região delimitada pela cardióide
r = al(1+sinthetar)
e pelo círculo
r = a
usando integração dupla em coordenadas polares. Para isso vamos achar onde elas se cruzam, decidir qual curva é externa e interna em cada intervalo de theta e usar a fórmula de área em polares.

Passo 2

As interseções satisfazem
a(1+sintheta)=a Longrightarrow sintheta=0 Longrightarrow theta=0,;pi
Esses valores de theta serão os limites angulares do nosso domínio.

Passo 3

Para 0<=theta<=pi temos sintheta>=0, logo
a(1+sintheta)>= a,
ou seja, a cardióide é a curva externa e o círculo é a interna.
Para pi<=theta<=2pi ocorre o contrário: o círculo é externo e a cardióide é interna.

Passo 4

A área total é dada por
A =12integral0^pil[(a(1+sintheta))^2 - a^2r],dtheta +12integralpi^2pil[a^2 - (a(1+sintheta))^2r],dtheta

Passo 5

Calcule o primeiro integral sem o fator a^2:
I1=integral0^pil[(1+2sintheta+sin^2theta)-1r],dtheta =integral0^pil(2sintheta+sin^2thetar),dtheta =2cdot2+pi2 =4+pi2
Portanto a contribuição para a área é
12,a^2,I1 =a^2l(2+pi4r)

Passo 6

Calcule o segundo integral sem o fator a^2:
I2=integralpi^2pil[1-(1+2sintheta+sin^2theta)r],dtheta =integralpi^2pil(-2sintheta-sin^2thetar),dtheta =4-pi2
Assim a contribuição é
12,a^2,I2 =a^2l(2-pi4r)

Passo 7

Somando as duas partes obtém-se
A =a^2l(2+tfracpi4r) +a^2l(2-tfracpi4r) =4a^2

Resposta

4a^2

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