3.2C Por integração dupla, calcule a área da região compreendida entre a cardióide
e o círculo
Passo 1
O enunciado pede a área da região delimitada pela cardióide
e pelo círculo
usando integração dupla em coordenadas polares. Para isso vamos achar onde elas se cruzam, decidir qual curva é externa e interna em cada intervalo de
e usar a fórmula de área em polares.
Passo 2
As interseções satisfazem
Esses valores de
serão os limites angulares do nosso domínio.
Passo 3
Para
temos
, logo
ou seja, a cardióide é a curva externa e o círculo é a interna.
Para ocorre o contrário: o círculo é externo e a cardióide é interna.
Para
Passo 4
A área total é dada por
Passo 5
Calcule o primeiro integral sem o fator
:
Portanto a contribuição para a área é
Passo 6
Calcule o segundo integral sem o fator
:
Assim a contribuição é
Passo 7
Somando as duas partes obtém-se