2.9X Em cada caso encontre a imagem da curva c pela mudança de coordenadas T(x, y).
c é o o círculo x^2+y^2=1; T(x, y)=(5 x+4 y, 2 x-3 y)

Passo 1

O enunciado pede a imagem do círculo ,x^2+y^2=1 pela transformação linear
T(x,y) = (u,v) = (5x+4y,;2x-3y)
O conteúdo aqui é mudança de coordenadas via mapa linear: sabemos que a imagem de um círculo centrado na origem é uma elipse centrada na origem no plano uv. Para achar sua equação, vamos escrever (x,y) em função de (u,v) (invertendo a matriz de T) e substituir em x^2+y^2=1.

Passo 2

Escrevemos T em forma matricial e calculamos a matriz inversa.
A = 5 & 4 [-6pt] 2 & -3, det A = 5cdot(-3) - 4cdot2 = -15 - 8 = -23
Logo,
A^-1 = 1det A -3 & -4 [-4pt] -2 & 5 = 1-23 -3 & -4 [-4pt] -2 & 5 = 3/23 & 4/23 [-4pt] 2/23 & -5/23 ]

Passo 3

Daí
x[-2pt]y = A^-1u[-2pt]v ;Longrightarrow; x = 3u + 4v23, y = 2u - 5v23 ]

Passo 4

Substituímos em x^2+y^2=1:
l(3u+4v23r)^2 + l(2u-5v23r)^2 =1

Passo 5

Multiplicando ambos os lados por 23^2=529 e somando termos semelhantes, obtemos
(3u+4v)^2 + (2u-5v)^2 = 529 ;Longrightarrow; 9u^2 +24uv +16v^2 +4u^2 -20uv +25v^2 =529 ;Longrightarrow; 13u^2 +4uv +41v^2 =529

Resposta

A imagem de c pelo mapa T é a elipse dada por
13u^2 + 4,u,v + 41v^2 = 529

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