3.1B Calcule as seguintes integrais iteradas e em cada caso esboce a região de integração. Inverta a ordem de integração e compare o grau de dificuldade no cálculo da integral nas duas ordens.
(b)
(b)
Passo 1
O enunciado pede para calcular
esboçar a região de integração, inverter a ordem das integrais e comparar a dificuldade de cálculo em cada ordem. O conteúdo envolve integrais iteradas, geometria do domínio e troca da ordem de integração.
Passo 2
Na ordem dada, integramos primeiro em
. Como
é constante em relação a
,
Logo a integral original reduz-se a
Passo 3
Para calcular
,
faço a substituição , logo
ou
. Quando
temos
e quando
temos
. Assim,
faço a substituição
Passo 4
A região de integração é
ou seja, o triângulo com vértices em
,
e
.
Passo 5
Invertendo a ordem,
varia de
a
e, para cada
,
varia de
a
. A integral fica
Passo 6
Na nova ordem a integral interna
não admite primitiva elementar (é uma forma de integral de Fresnel), o que torna o cálculo bem mais difícil do que na ordem original.
não admite primitiva elementar (é uma forma de integral de Fresnel), o que torna o cálculo bem mais difícil do que na ordem original.
Resposta
A integral vale
. A região de integração é o triângulo
. A ordem original é muito mais simples, pois na ordem invertida surge
sem primitiva elementar.