3.1B Calcule as seguintes integrais iteradas e em cada caso esboce a região de integração. Inverta a ordem de integração e compare o grau de dificuldade no cálculo da integral nas duas ordens.
(b) integral0^pi integral0^x cos (x^2) d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral0^piintegral0^xcosl(x^2r),dy,dx,
esboçar a região de integração, inverter a ordem das integrais e comparar a dificuldade de cálculo em cada ordem. O conteúdo envolve integrais iteradas, geometria do domínio e troca da ordem de integração.

Passo 2

Na ordem dada, integramos primeiro em y. Como cosl(x^2r) é constante em relação a y,
integral0^xcosl(x^2r),dy =cosl(x^2r)integral0^xdy =x,cosl(x^2r)
Logo a integral original reduz-se a
integral0^pix,cosl(x^2r),dx

Passo 3

Para calcular
integral0^pix,cosl(x^2r),dx,
faço a substituição u=x^2, logo du=2x,dx ou x,dx=tfrac12,du. Quando x=0 temos u=0 e quando x=pi temos u=pi^2. Assim,
integral0^pix,cosl(x^2r),dx =integral0^pi^2cos(u),12,du =12l[sin(u)r]0^pi^2 =12sinl(pi^2r)

Passo 4

A região de integração é
D=l(x,y)mid 0<= y<= x<= pir,
ou seja, o triângulo com vértices em (0,0), (pi,0) e (pi,pi).

Passo 5

Invertendo a ordem, y varia de 0 a pi e, para cada y, x varia de y a pi. A integral fica
integral0^piintegraly^picosl(x^2r),dx,dy

Passo 6

Na nova ordem a integral interna
integraly^picosl(x^2r),dx
não admite primitiva elementar (é uma forma de integral de Fresnel), o que torna o cálculo bem mais difícil do que na ordem original.

Resposta

A integral vale tfrac12sin(pi^2). A região de integração é o triângulo (x,y)mid0<= y<= x<=pi. A ordem original é muito mais simples, pois na ordem invertida surge integralcos(x^2),dx sem primitiva elementar.

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