3.1B Calcule as seguintes integrais iteradas e em cada caso esboce a região de integração. Inverta a ordem de integração e compare o grau de dificuldade no cálculo da integral nas duas ordens.
(c) integral0^3 integral1^2(12 x y^2-8 x^3) d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral iterada
integral0^3integral1^2l(12 x y^2-8 x^3r),dy,dx
que é um caso de integração em retângulo no plano (x,y). Precisamos
  1. Calcular nessa ordem (dy,dx).
  2. Esboçar a região de integração e inverter a ordem.
  3. Calcular na ordem invertida (dx,dy).
  4. Comparar a dificuldade nos dois casos.

Passo 2

Integramos primeiro em y:
integral1^2l(12 x y^2-8 x^3r),dy =[12xcdoty^33-8x^3y]y=1^2 =l(4xcdot8-8x^3cdot2r)-l(4xcdot1-8x^3cdot1r) =28x-8x^3
Em seguida, integramos em x:
integral0^3(28x-8x^3),dx =[14x^2-2x^4]0^3 =14cdot9-2cdot81 =126-162 =-36

Passo 3

A região de integração é o retângulo
0<= x<=3, 1<= y<=2
Esboçando-o no plano, vemos que ao inverter a ordem podemos escrever
integral0^3integral1^2cdots dy,dx =integral1^2integral0^3cdots dx,dy

Passo 4

Agora integramos primeiro em x:
integral0^3l(12 x y^2-8 x^3r),dx =[6y^2x^2-2x^4]0^3 =54y^2-162
Em seguida, em y:
integral1^2(54y^2-162),dy =[18y^3-162y]1^2 =l(144-324r)-l(18-162r) =-180-(-144) =-36

Passo 5

Em ambas as ordens obtemos o mesmo valor -36 e, como o integrando é um polinômio em x e y, a dificuldade é praticamente a mesma nas duas ordens de integração.

Resposta

-36
A região de integração é o retângulo 0<= x<=3,;1<= y<=2.

Exercícios relacionados