3.1B Calcule as seguintes integrais iteradas e em cada caso esboce a região de integração. Inverta a ordem de integração e compare o grau de dificuldade no cálculo da integral nas duas ordens.
(d)
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral iterada
que envolve técnicas de integração dupla, interpretar geometricamente a região de integração no plano , inverter a ordem de integração e comparar a dificuldade nos dois casos.
Passo 2
Calculemos primeiro na ordem dada. A parte interna é
Mas é mais direto escrever
logo
A antiderivada é
Passo 3
Descri-ção da regi~ao :
No plano, o contorno inferior a reta e o superior a semi-par’abola ; para temos e, para , . O esbo\c{c}o mostra que essas curvas n~ao se cruzam em , garantindo sempre .
Passo 4
Para inverter a ordem, note que qualquer ponto de satisfaz simultaneamente
Isto equivale a
Logo, para cada , temos
O valor de muda nos pontos em que duas dessas curvas se igualam: em , em , em e .
Assim, ao inverter, dividimos o intervalo em quatro trechos de :
com correspondentes
Passo 5
A integral invertida fica então a soma de quatro integrais
Embora seja perfeitamente válida e dê novamente 1 por Fubini, exige lidar com a divisão em quatro intervalos de y e escolher max1,1-y,y^2 em cada um, o que torna o cálculo muito mais trabalhoso do que na ordem original, em que só integramos em y uma vez e depois em x.
Resposta
O valor da integral é 1. A ordem original apresenta cálculo direto com uma única antiderivada, enquanto a ordem invertida exige decompor em quatro casos, mostrando-se bem mais trabalhosa.