3.1B Calcule as seguintes integrais iteradas e em cada caso esboce a região de integração. Inverta a ordem de integração e compare o grau de dificuldade no cálculo da integral nas duas ordens.
(d) integral1^3 integral1-x^raizx x y d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral iterada
integralx=1^3!integraly=,1 - x^y=,raizx x,y,dy,dx
que envolve técnicas de integração dupla, interpretar geometricamente a região de integração D no plano (x,y), inverter a ordem de integração e comparar a dificuldade nos dois casos.

Passo 2

Calculemos primeiro na ordem dada. A parte interna é
integraly=,1 - x^y=,raizx y,dy =[y^22]1 - x^raizx =x2-(1 - x)^22 =x - (1 - 2x + x^2)2 =3x^2-x - x^32x,x
Mas é mais direto escrever
integral1 - x^raizxy,dy =x2-(1 - x)^22,,
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integral1^3xl(x2-(1 - x)^22r),dx =12integral1^3l(x^2-x(1 - x)^2r),dx =12integral1^3(3x^2-x - x^3),dx
A antiderivada é
12l[;x^3-tfracx^22-tfracx^44r]1^3 =12l(l(27-tfrac92-tfrac814r)-l(1-tfrac12-tfrac14r)r) =12l(tfrac94-tfrac14r) =12cdot2 =1

Passo 3

Descri-ção da regi~ao D:
D=(x,y)mid 1<= x<=3,;1-x<= y<=raizx
No plano, o contorno inferior acutee a reta y=1-x e o superior acutee a semi-par’abola y=raizx; para x=1 temos yin[0,1] e, para x=3, yin[-2,raiz3]. O esbo\c{c}o mostra que essas curvas n~ao se cruzam em 1<= x<=3, garantindo sempre 1-x<=raizx.

Passo 4

Para inverter a ordem, note que qualquer ponto de D satisfaz simultaneamente
1<= x<=3, y>=1-xe y<=raizx
Isto equivale a
1<= x<=3, x>=1-y, x>= y^2
Logo, para cada y, temos
xmin(y)=max1,;1-y,;y^2, xmax(y)=3
O valor de max1,1-y,y^2 muda nos pontos em que duas dessas curvas se igualam:
;1=1-y em y=0,
;1=y^2 em y=pm1,
;y^2=1-y em y=-1pmraiz52approx0,618 e -1,618.
Assim, ao inverter, dividimos o intervalo em quatro trechos de y:
yin[-2,,-1,618],[-1,618,,0],[0,,1],[1,,raiz3],
com correspondentes
xmin(y)= y^2,&yin[-2,-1,618]cup[1,raiz3], 1-y,&yin[-1,618,0], 1,&yin[0,1]

Passo 5

A integral invertida fica então a soma de quatro integrais
sumtrecho integralymin^ymax integralx=max1,1-y,y^2^3x,y,dx,dy
Embora seja perfeitamente válida e dê novamente 1 por Fubini, exige lidar com a divisão em quatro intervalos de y e escolher max1,1-y,y^2 em cada um, o que torna o cálculo muito mais trabalhoso do que na ordem original, em que só integramos em y uma vez e depois em x.

Resposta

O valor da integral é 1. A ordem original apresenta cálculo direto com uma única antiderivada, enquanto a ordem invertida exige decompor em quatro casos, mostrando-se bem mais trabalhosa.

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