3.1B Calcule as seguintes integrais iteradas e em cada caso esboce a região de integração. Inverta a ordem de integração e compare o grau de dificuldade no cálculo da integral nas duas ordens.
(g)
(g)
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral iterada
esboçar a região de integração, inverter a ordem de integração e comparar a dificuldade de cálculo nas duas ordens. O conteúdo envolvido é: interpretação de região no plano
, troca de ordem de integração, substituição em integrais e integração por partes.
Passo 2
A região de integração
é dada por
Em coordenadas, trata-se da região limitada pela parábola
por baixo e pela reta
por cima, com
variando de
a
.
Passo 3
Vamos calcular primeiro na ordem dada. Para um
fixo,
Fazemos a substituição
com limites
e
. Assim
Passo 4
Substituindo na integral exterior, obtemos
Sabemos que
Para
usamos integração por partes:
logo
Portanto
Passo 5
Para inverter a ordem, notamos que
e
implica
e, para cada
,
Assim a integral fica
Passo 6
Na ordem original a integral interna em
é resolvida por uma substituição simples e a integral em
por partes — procedimento bem elementar. Na ordem invertida surge
,
que não tem primitiva elementar simples e complica muito o cálculo. Logo a ordem dada no enunciado é muito mais fácil de avaliar.
que não tem primitiva elementar simples e complica muito o cálculo. Logo a ordem dada no enunciado é muito mais fácil de avaliar.