3.1B Calcule as seguintes integrais iteradas e em cada caso esboce a região de integração. Inverta a ordem de integração e compare o grau de dificuldade no cálculo da integral nas duas ordens.
(g) integral0^1 integralx^2^x e^y / x d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral iterada
integral0^1integralx^2^x e^y/x,dy,dx,
esboçar a região de integração, inverter a ordem de integração e comparar a dificuldade de cálculo nas duas ordens. O conteúdo envolvido é: interpretação de região no plano (x,y), troca de ordem de integração, substituição em integrais e integração por partes.

Passo 2

A região de integração R é dada por
0 <= x <= 1, x^2 <= y <= x
Em coordenadas, trata-se da região limitada pela parábola y=x^2 por baixo e pela reta y=x por cima, com x variando de 0 a 1.

Passo 3

Vamos calcular primeiro na ordem dada. Para um x fixo,
integraly=x^2^x e^y/x,dy
Fazemos a substituição
t = yx, dy = x,dt,
com limites y=x^2mapsto t=x e y=xmapsto t=1. Assim
integralx^2^x e^y/x,dy = integralt=x^1 e^t,x,dt = xintegralx^1 e^tdt = xl[e^tr]t=x^1 = x,(e - e^x)

Passo 4

Substituindo na integral exterior, obtemos
integral0^1 x,(e - e^x),dx = eintegral0^1 x,dx ;-;integral0^1 x e^x,dx
Sabemos que
integral0^1 x,dx = 12
Para integral0^1 x e^x,dx usamos integração por partes:
u = x, dv = e^xdx Longrightarrow du = dx, v = e^x,
logo
integral0^1 x e^xdx = l[x e^xr]0^1 - integral0^1 e^xdx = l(e - 0r) - (e - 1) = 1
Portanto
integral0^1integralx^2^x e^y/x,dy,dx = ecdot12 ;-; 1 = e2 - 1

Passo 5

Para inverter a ordem, notamos que x^2<= y<= x e 0<= x<=1 implica 0<= y<=1 e, para cada y,
x^2<= y<= x Long<=ftrightarrow y<= x<= raizy
Assim a integral fica
integraly=0^1integralx=y^raizy e^y/x,dx,dy

Passo 6

Na ordem original a integral interna em y é resolvida por uma substituição simples e a integral em x por partes — procedimento bem elementar. Na ordem invertida surge
integral e^y/xdx,
que não tem primitiva elementar simples e complica muito o cálculo. Logo a ordem dada no enunciado é muito mais fácil de avaliar.

Resposta

e2 - 1

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