3.1B Calcule as seguintes integrais iteradas e em cada caso esboce a região de integração. Inverta a ordem de integração e compare o grau de dificuldade no cálculo da integral nas duas ordens.
(h)
(h)
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral iterada
esboçar a região de integração, inverter a ordem de integração e comparar a dificuldade de cálculo nas duas ordens. O conteúdo envolvido é integração dupla, Teorema de Fubini e mudança de ordem de integração.
Passo 2
Vamos calcular primeiro na ordem dada, isto é, integrar em
antes de
. Como
é constante em relação a
, temos
Logo a integral torna-se
Fazendo a substituição
,
, obtemos
Passo 3
A região de integração em coordenadas
é
É o triângulo com vértices
,
e
, abaixo da reta
no quadrado unitário.
Passo 4
Para inverter a ordem, fixamos
primeiro. Na região
,
varia de
a
e, para cada
,
varia de
a
. A integral invertida é
Passo 5
Comparando as duas ordens:
- Na ordem original, a integral em
é imediata e depois usamos substituição em , obtendo . - Na ordem invertida, a integral interior
não tem forma elementar (envolve a função erro). Isso torna o cálculo muito mais difícil nessa ordem.