3.1B Calcule as seguintes integrais iteradas e em cada caso esboce a região de integração. Inverta a ordem de integração e compare o grau de dificuldade no cálculo da integral nas duas ordens.
(h) integral0^1 integral0^x e^x^2 d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral iterada
integral0^1integral0^xe^x^2;dy;dx,
esboçar a região de integração, inverter a ordem de integração e comparar a dificuldade de cálculo nas duas ordens. O conteúdo envolvido é integração dupla, Teorema de Fubini e mudança de ordem de integração.

Passo 2

Vamos calcular primeiro na ordem dada, isto é, integrar em y antes de x. Como e^x^2 é constante em relação a y, temos
integral0^xe^x^2;dy = e^x^2l[yr]0^x = x,e^x^2
Logo a integral torna-se
integral0^1x,e^x^2;dx
Fazendo a substituição u=x^2, du=2x,dx, obtemos
integral0^1x,e^x^2;dx =12integral0^1e^u;du =12l[e^ur]0^1 =e-12

Passo 3

A região de integração em coordenadas (x,y) é
D=l(x,y)mid 0<= y<= x<= 1r
É o triângulo com vértices (0,0), (1,0) e (1,1), abaixo da reta y=x no quadrado unitário.

Passo 4

Para inverter a ordem, fixamos y primeiro. Na região D, y varia de 0 a 1 e, para cada y, x varia de y a 1. A integral invertida é
integraly=0^1integralx=y^1e^x^2;dx;dy

Passo 5

Comparando as duas ordens:
  • Na ordem original, a integral em y é imediata e depois usamos substituição em x, obtendo tfrace-12.
  • Na ordem invertida, a integral interior integraly^1e^x^2;dx não tem forma elementar (envolve a função erro). Isso torna o cálculo muito mais difícil nessa ordem.

Resposta

e-12

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