3.1B Calcule as seguintes integrais iteradas e em cada caso esboce a região de integração. Inverta a ordem de integração e compare o grau de dificuldade no cálculo da integral nas duas ordens.
(k) integral0^1 integral0^raiz1-x^2 y d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral iterada
integral0^1integral0^raiz1-x^2y,dy,dx
fazendo também o esboço da região de integração, invertendo a ordem de integração e comparando a dificuldade. O conteúdo envolvido é integrais duplas e o Teorema de Fubini para trocar a ordem de integração.

Passo 2

A região de integração D é
D=(x,y)mid 0<= x<=1,;0<= y<=raiz1-x^2
Esse conjunto é um quarto de disco de raio 1 no primeiro quadrante, limitado pelos eixos x e y e pela circunferência x^2+y^2=1. Para esboçar, desenhe o círculo de raio 1 centrado na origem e mantenha apenas o pedaço entre x=0 e y=0.

Passo 3

Calculando na ordem original integral0^1l[integral0^raiz1-x^2y,dyr]dx:
integral0^raiz1-x^2y,dy =l[y^22r]0^raiz1-x^2 =1-x^22
Então
integral0^11-x^22,dx =12l[x-x^33r]0^1 =12l(1-13r) =13

Passo 4

Para inverter a ordem, note que em D a variável y vai de 0 até 1 e, para cada y, x varia de 0 até raiz1-y^2. Logo a integral reescreve-se como
integral0^1integral0^raiz1-y^2y,dx,dy

Passo 5

Calculando a integral na ordem invertida:
integral0^1l[integral0^raiz1-y^2y,dxr]dy =integral0^1yl[xr]0^raiz1-y^2dy =integral0^1yraiz1-y^2,dy
Use a substituição u=1-y^2, du=-2y,dy:
integral0^1yraiz1-y^2,dy =-12integral1^0raizu,du =12integral0^1u^12,du =12cdot23u^32|0^1 =13

Passo 6

Comparando os dois cálculos, na ordem original a integral interna produziu um polinômio 1-x^22 e bastou integrar direto, enquanto na ordem invertida apareceu raiz1-y^2 exigindo substituição. Portanto, a ordem original é ligeiramente mais direta.

Resposta

O valor da integral é 13. A ordem dy,dx é um pouco mais simples do que dx,dy, que requer substituição para tratar do radical.

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