3.1B Calcule as seguintes integrais iteradas e em cada caso esboce a região de integração. Inverta a ordem de integração e compare o grau de dificuldade no cálculo da integral nas duas ordens.
(k)
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral iterada
fazendo também o esboço da região de integração, invertendo a ordem de integração e comparando a dificuldade. O conteúdo envolvido é integrais duplas e o Teorema de Fubini para trocar a ordem de integração.
Passo 2
A região de integração é
Esse conjunto é um quarto de disco de raio no primeiro quadrante, limitado pelos eixos e e pela circunferência . Para esboçar, desenhe o círculo de raio centrado na origem e mantenha apenas o pedaço entre e .
Passo 3
Calculando na ordem original :
Então
Passo 4
Para inverter a ordem, note que em a variável vai de até e, para cada , varia de até . Logo a integral reescreve-se como
Passo 5
Calculando a integral na ordem invertida:
Use a substituição , :
Passo 6
Comparando os dois cálculos, na ordem original a integral interna produziu um polinômio 1-x^22 e bastou integrar direto, enquanto na ordem invertida apareceu raiz1-y^2 exigindo substituição. Portanto, a ordem original é ligeiramente mais direta.
Resposta
O valor da integral é 13. A ordem dy,dx é um pouco mais simples do que dx,dy, que requer substituição para tratar do radical.