Calcule as primitivas abaixo:
integral raiz2 x+1+1e^2 x d x

Passo 1

O enunciado pede a primitiva (integral indefinida)
integral l(raiz2x+1+1e^2xr),dx
O conteúdo principal aqui é a propriedade de linearidade das integrais e duas técnicas básicas:
– substituição para a parte com raiz quadrada,
– integral de função exponencial para a parte e^-2x.

Passo 2

Usando linearidade, escrevemos
integral l(raiz2x+1+1e^2xr),dx =integral raiz2x+1,dx+integral e^-2x,dx

Passo 3

Calcular I1=integral raiz2x+1,dx.
Fazemos a substituição
u=2x+1Longrightarrow du=2,dxLongrightarrow dx=du2
Então
I1=integral raizu,du2 =12integral u^1/2du =12cdotu^3/23/2 =u^3/23
Voltando a x,
I1=(2x+1)^3/23

Passo 4

Calcular I2=integral e^-2x,dx.
Usamos a fórmula integral e^axdx = 1ae^ax. Aqui a=-2, logo
I2=integral e^-2xdx =1-2e^-2x =-12e^-2x

Passo 5

Somando as duas partes e incluindo a constante de integração C, obtemos
integral l(raiz2x+1+1e^2xr),dx =(2x+1)^3/23 -12e^-2x+C

Resposta

boxed(2x+1)^3/23-12e^-2x+C

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