Calcule as primitivas abaixo:
integral 12 x+1+3 sen(4 x) d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a primitiva de
12x+1 ;+; 3sen(4x)
O conteúdo é integração elementar de soma de funções: uma parte racional simples e uma trigonométrica. Vamos usar linearidade, substituição e fórmulas básicas de integração.

Passo 2

Pela linearidade de integrais, separamos
integrall(12x+1+3sen(4x)r),dx = integral 12x+1,dx ;+; integral 3sen(4x),dx

Passo 3

Para
integral 12x+1,dx
fazemos a substituição
u = 2x+1, du = 2,dx, dx = du2
Então
integral 12x+1,dx = integral 1u,du2 = 12integral duu = 12lnlvert urvert = 12lnlvert 2x+1rvert

Passo 4

Para
integral 3sen(4x),dx
fatoramos o 3 e usamos
integral sen(ax),dx = -1acos(ax):
integral 3sen(4x),dx = 3integral sen(4x),dx = 3l(-tfrac14cos(4x)r) = -34cos(4x)

Passo 5

Somando os resultados e incluindo a constante de integração C, obtemos
F(x) = 12lnlvert 2x+1rvert ;-;34cos(4x) ;+;C

Resposta

F(x)=12lnlvert 2x+1rvert - 34cos(4x) + C

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