1C 2A 3C 4D 5A 6A 7C 8C 9B 10B 11C 12B 13C 14C 15B

Q11: Seja \left\{\vec{v}_{1}, \vec{v}_{2}, \vec{v}_{3}, \vec{v}_{4}\right\} uma base do \mathbb{R}^{4}. Se A é uma matriz 4 \times 4 tal que \vec{v}_{1} e \vec{v}_{2} são autovetores associados ao autovalor 4 e \vec{v}_{3} e \vec{v}_{4} são autovetores associados ao autovalor -1, então o determinante de A vale:
(A) 4
(B) -16

Passo 1

O enunciado diz que A é uma matriz 4\times4 que admite a base \{\vec v_1,\vec v_2,\vec v_3,\vec v_4\} formada por autovetores. Os autovalores são:
\vec v_1 e \vec v_2 com \lambda=4,
\vec v_3 e \vec v_4 com \lambda=-1.
O conteúdo que precisamos usar é que, quando uma matriz quadrada é diagonalizável (ou seja, tem uma base de autovetores), seu determinante é o produto dos autovalores, contado com multiplicidade.

Passo 2

Listamos todos os autovalores, incluindo repetições conforme as dimensões dos autespaços:
\lambda_1 = 4,\quad \lambda_2 = 4,\quad \lambda_3 = -1,\quad \lambda_4 = -1.

Passo 3

Aplicamos a propriedade
\det(A)=\lambda_1\lambda_2\lambda_3\lambda_4.
Substituindo,
\det(A)=4 \times 4 \times (-1)\times(-1).

Passo 4

Calculamos o produto:
4 \times 4 = 16, \quad (-1)\times(-1)=1,
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\det(A)=16\times1=16.

Resposta

C

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