Achar a distância entre as retas r_{1} e r_{2}, nos casos:
r_{1}:\left\{\begin{array}{l}x=2-\lambda, \\\ y=3+\lambda, \\\ z=1-2 \lambda\end{array} \quad\right. e r_{2}:\left\{\begin{array}{l}x=\lambda, \\\ y=-1-3 \lambda, \\\ z=2 \lambda\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede a distância entre duas retas r_{1} e r_{2} no espaço, que são aparentes como retas reversas (skew lines). Para isso usaremos a fórmula
d = \frac{\bigl|(P_{2}-P_{1})\cdot (v_{1}\times v_{2})\bigr|}{\|v_{1}\times v_{2}\|},
onde P_{1} e P_{2} são pontos em r_{1} e r_{2}, e v_{1} e v_{2} são os vetores direção de cada reta.

Passo 2

Escolhemos os parâmetros zero para obter pontos em cada reta. Em r_{1} tome \lambda=0, daí
P_{1} = (2,\,3,\,1), \quad v_{1} = \frac{d}{d\lambda}(2-\lambda,\,3+\lambda,\,1-2\lambda) = (-1,\,1,\,-2).
Em r_{2} tome \mu=0, daí
P_{2} = (0,\,-1,\,0), \quad v_{2} = \frac{d}{d\mu}(\mu,\,-1-3\mu,\,2\mu) = (1,\,-3,\,2).

Passo 3

Calcule o produto vetorial v_{1}\times v_{2}. Usando a regra de Sarrus ou determinante,
v_{1}\times v_{2} = \det\begin{pmatrix}\mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\\\ -1&1&-2\\\\ 1&-3&2 \end{pmatrix} = (-4,\,0,\,2).
A norma é
\|v_{1}\times v_{2}\| = \sqrt{(-4)^{2}+0^{2}+2^{2}} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}.

Passo 4

Forme o vetor entre os pontos e faça o produto escalar com v_{1}\times v_{2}:
P_{2}-P_{1} = (0-2,\,-1-3,\,0-1) = (-2,\,-4,\,-1),
(P_{2}-P_{1})\cdot(v_{1}\times v_{2}) = (-2)\cdot(-4) + (-4)\cdot0 + (-1)\cdot2 = 8 - 2 = 6.

Passo 5

Substitua na fórmula da distância:
d = \frac{|6|}{2\sqrt{5}} = \frac{6}{2\sqrt{5}} = \frac{3}{\sqrt{5}} = \frac{3\sqrt{5}}{5}.

Resposta

A distância entre r_{1} e r_{2} é
\frac{3}{\sqrt{5}}\;(\text{ou}\;\tfrac{3\sqrt{5}}{5}).

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