4.1C Um caminho não regular. Seja
o caminho dado por:
, e
. Note que a coordenada
do caminho
é:
com derivada
y^prime(t)=2 t sen(1 / t)-cos (1 / t) , para
0<t <= 1 e
y^prime(0)=0 . Sendo esta derivada descontínua em
t=0 , concluímos que o caminho não é regular.
Passo 1
O enunciado define o caminho
Queremos verificar se existe, é contínua em
e nunca se anula.
Passo 2
Calculamos a derivada
vec r'(t) para
0<t<=1 . Como
temos
Logo, para
0<t<=1 ,
No ponto
t=0 define-se
pois
x'(0)=1 e
Passo 3
Para testar a continuidade de
vec r' em
t=0 , basta analisar a componente
y'(t)=2tsin(1/t)-cos(1/t) . Note que
mas o termo
-cos(1/t) oscila entre
-1 e
1 quando
tto0 , de modo que
Por outro lado,
y'(0)=0 . Como o limite das
y'(t) não coincide com
y'(0) , a derivada
vec r'(t) é descontínua em
t=0 .
Passo 4
A regularidade exige que
vec r'(t) seja contínua em todo o intervalo. Como encontramos descontinuidade em
t=0 , concluímos que
gamma não é regular.
Resposta
O caminho
gamma não é regular, pois sua derivada
vec r'(t) é descontínua em
t=0 .