4.1C Um caminho não regular. Seja gamma o caminho dado por: r(t)=t i+t^2 sen(1 / t) j, 0< t <= 1, e r(0)=0. Note que a coordenada y do caminho gamma é:
y(t)=l t^2 sen(1 / t), se 0<t <= 1 0, se t=0
com derivada y^prime(t)=2 t sen(1 / t)-cos (1 / t), para 0<t <= 1 e y^prime(0)=0. Sendo esta derivada descontínua em t=0, concluímos que o caminho não é regular.

Passo 1

O enunciado define o caminho
Queremos verificar se existe, é contínua em e nunca se anula.

Passo 2

Calculamos a derivada vec r'(t) para 0<t<=1. Como
x(t)=t, y(t)=t^2sin(1/t),
temos
x'(t)=1, y'(t)=ddtl(t^2sin(1/t)r) =2tsin(1/t)-t^2cos(1/t)cdotl(-1/t^2r) =2tsin(1/t)-cos(1/t)
Logo, para 0<t<=1,
vec r'(t)=l(1,;2tsin(1/t)-cos(1/t)r)
No ponto t=0 define-se
vec r'(0)=l(1,;0r),
pois x'(0)=1 e
y'(0)=limhto0^+y(h)-y(0)h =limhto0^+h^2sin(1/h)h =limhto0^+hsin(1/h) =0

Passo 3

Para testar a continuidade de vec r' em t=0, basta analisar a componente y'(t)=2tsin(1/t)-cos(1/t). Note que
limtto0^+2tsin(1/t)=0,
mas o termo -cos(1/t) oscila entre -1 e 1 quando tto0, de modo que
limtto0^+y'(t) não existe ã
Por outro lado, y'(0)=0. Como o limite das y'(t) não coincide com y'(0), a derivada vec r'(t) é descontínua em t=0.

Passo 4

A regularidade exige que vec r'(t) seja contínua em todo o intervalo. Como encontramos descontinuidade em t=0, concluímos que gamma não é regular.

Resposta

O caminho gamma não é regular, pois sua derivada vec r'(t) é descontínua em t=0.

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