As integrais duplas dos Exercícios 8.4 A, 8.4 B e 8.4 C diferem daquelas tratadas até o momento em dois aspectos:
(i) ou a região de integração D não é limitada;
(ii) ou a função f(x, y) que se deseja integrar é descontínua ou torna-se ilimitada na região D. Nesses casos a integral dupla recebe a denominação de integral imprópria.
3.4C Mostre que a função f(x, y)=1 /(x-y) não é integrável em D: 0 <= y<x <= 1, embora seja contínua neste conjunto. Este exemplo mostra que não basta ser contínua para ser integrável.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função
f(x,y)=1x-y
não é integrável (no sentido de Riemann) em
D=(x,y)mid 0<= y<x<=1,
apesar de ser contínua em todo ponto de D. Aqui estamos diante de uma integral dupla imprópria porque f fica ilimitada quando yto x. Para provar que não existe a integral em D, vamos usar a definição de integral dupla imprópria: aproximar D por regiões que evitem a linha singular y=x e verificar que o limite desses integrais tende a infinito.

Passo 2

Definimos, para cada varepsilon>0, a região truncada
Dvarepsilon = (x,y)mid 0<= y<= x-varepsilon,; varepsilon<= x<=1
Então a integral sobre D é
integral duplaDf = limvarepsilonto0^+ integral duplaDvarepsilon1x-y,dA,
se este limite existir finito. Vamos mostrar que esse limite diverge.

Passo 3

Escrevemos a integral em coordenadas retangulares no tipo I (primeiro integramos em y, depois em x):
I(varepsilon) =integral duplaDvarepsilon1x-y,dA =integralx=varepsilon^1l[integraly=0^x-varepsilon1x-y,dyr]dx

Passo 4

Calculemos a integral interna em y, para x fixo:
integral0^x-varepsilon1x-y,dy =l[-lnlvert x-yrvertr]y=0^y=x-varepsilon =-ln(varepsilon)+ln(x) =ln(x)-ln(varepsilon)
Logo
I(varepsilon) =integralvarepsilon^1l(ln(x)-ln(varepsilon)r),dx

Passo 5

Separamos:
I(varepsilon) =integralvarepsilon^1ln(x),dx -ln(varepsilon)integralvarepsilon^1dx
Sabemos que
integralvarepsilon^1ln(x),dx =l[xln(x)-xr]varepsilon^1 =(1cdot0-1)-l(varepsilonln(varepsilon)-varepsilonr) =-1-varepsilonln(varepsilon)+varepsilon
e
integralvarepsilon^1dx=1-varepsilon
Portanto
I(varepsilon) =l(-1-varepsilonln(varepsilon)+varepsilonr) -ln(varepsilon),(1-varepsilon) =-1+varepsilon -varepsilonln(varepsilon) -ln(varepsilon) +varepsilonln(varepsilon) =-1+varepsilon-ln(varepsilon)

Passo 6

Analisando o comportamento quando varepsilonto0^+, temos -ln(varepsilon)to+infty. Logo
limvarepsilonto0^+I(varepsilon)=limvarepsilonto0^+l(-1+varepsilon-ln(varepsilon)r)=+infty
Como o limite diverge, a integral dupla imprópria não existe em D.

Resposta

A integral integral duplaD1x-y,dA diverge, portanto f(x,y)=1/(x-y) não é integrável em D.

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