As integrais duplas dos Exercícios
e 8.4 C diferem daquelas tratadas até o momento em dois aspectos:
(i) ou a região de integração
não é limitada;
(ii) ou a função
que se deseja integrar é descontínua ou torna-se ilimitada na região D. Nesses casos a integral dupla recebe a denominação de integral imprópria.
3.4C Mostre que a função
não é integrável em
, embora seja contínua neste conjunto. Este exemplo mostra que não basta ser contínua para ser integrável.
(i) ou a região de integração
(ii) ou a função
3.4C Mostre que a função
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a função
não é integrável (no sentido de Riemann) em
apesar de ser contínua em todo ponto de
. Aqui estamos diante de uma integral dupla imprópria porque
fica ilimitada quando
. Para provar que não existe a integral em
, vamos usar a definição de integral dupla imprópria: aproximar
por regiões que evitem a linha singular
e verificar que o limite desses integrais tende a infinito.
Passo 2
Definimos, para cada
, a região truncada
Então a integral sobre
é
se este limite existir finito. Vamos mostrar que esse limite diverge.
Passo 3
Escrevemos a integral em coordenadas retangulares no tipo I (primeiro integramos em
, depois em
):
Passo 4
Calculemos a integral interna em
, para
fixo:
Logo
Passo 5
Separamos:
Sabemos que
e
Portanto
Passo 6
Analisando o comportamento quando
, temos
. Logo
Como o limite diverge, a integral dupla imprópria não existe em
.
Resposta
A integral
diverge, portanto
não é integrável em
.