3.4A Calcule as seguintes integrais impróprias:
(i) integral duplaD e^x / y ; D: 0 <= x <= y^2, 0 <= y <= 1

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria da função e^x/y sobre a região
D = (x,y)mid 0 <= x <= y^2,;0 <= y <= 1
Aqui o conteúdo é integração dupla imprópria, pois o integrando fica singular quando yto0. Vamos escrever a integral em coordenadas retangulares e tratar a convergência.

Passo 2

Escrevemos a integral iterada na ordem dx,dy:
integral duplaD e^x/y,dA = integraly=0^1!integralx=0^y^2 e^x/y,dx,dy
Para cada y>0 fixo, integramos em x. A impropriedade vem de y=0, mas depois veremos que não causa divergência.

Passo 3

Como y é constante numa integração em x, usamos
integral e^x/y,dx = 1(1/y),e^x/y = y,e^x/y
Logo
integral0^y^2 e^x/y,dx = [y,e^x/y]x=0^x=y^2 = yl(e^y-1r)

Passo 4

Substituindo na integral externa, temos
integral duplaD e^x/y,dA = integral0^1 yl(e^y-1r),dy = integral0^1y,e^y,dy ;-;integral0^1y,dy
Para a primeira parte usamos integração por partes ( u=y, dv=e^y,dy), obtendo
integral0^1y,e^y,dy = l[y,e^yr]0^1 - integral0^1e^y,dy = (e - 0) - (e-1) =1
E
integral0^1y,dy = 12
Portanto
integral duplaD e^x/y,dA = 1 - 12 = 12

Resposta

12

Exercícios relacionados