2.2A Seja f(x, y) uma função contínua sobre um caminho regular c de comprimento L. Se |f(x, y)| <= M, em todos os pontos (x, y) do caminho c, mostre que:
|integralgamma f(x, y) d s| <= M L

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, sendo f(x,y) contínua num caminho regular c de comprimento L e satisfeito lvert f(x,y)rvert<= M em todo ponto de c, vale
|integralgammaf(x,y),ds|<= M,L
O conteúdo aqui é integral de linha em função do comprimento de arco.

Passo 2

Parametrizamos o caminho c por gammacolon[a,b]toR^2, regular, de modo que
L ;=;integrala^b|gamma'(t)|,dt
Então a integral de linha de f em relação a ds escreve-se
integralgammaf(x,y),ds ;=;integrala^bfl(gamma(t)r),|gamma'(t)|,dt

Passo 3

Aplicamos o valor absoluto na integral e usamos a desigualdade triangular sob o integrando:
|integralgammaf,ds| =|integrala^bfl(gamma(t)r),|gamma'(t)|,dt| <= integrala^bl|fl(gamma(t)r)r|,|gamma'(t)|,dt

Passo 4

Como lvert f(gamma(t))rvert<= M para todo tin[a,b], segue
integrala^blvert f(gamma(t))rvert,|gamma'(t)|,dt <= Mintegrala^b|gamma'(t)|,dt = M,L
Portanto
|integralgammaf,ds|<= M,L.

Resposta

|integralgammaf(x,y),ds| <= M,L

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