8.1C Considere B>2 e calcule a área sob a curva y=[x(ln x)^2]^-1, entre as retas x=2 e x=B. Esta área tem um limite com B infty ? (resp. 1 / ln 2-1 / ln B ); área limite 1 / ln 2 )

Passo 1

O enunciado pede a área sob a curva
y = 1x(ln x)^2
entre as retas x=2 e x=B, com B>2. O conteúdo é cálculo de integral definida dependente de parâmetro e exame de limite. Vamos usar a substituição u=ln x.

Passo 2

Escrevemos a área em função de B:
A(B)=integral2^B1x(ln x)^2,dx
Fazendo u=ln x temos du=dxx. Quando x=2, u=ln2; quando x=B, u=ln B.

Passo 3

Em u a integral vira
A(B)=integralln2^ln Bu^-2,du
Sabemos que
integral u^-2,du=-1u

Passo 4

Avaliaremos a antiderivada nos limites:
A(B) =l[-tfrac1ur]u=ln2^u=ln B =-1ln B+1ln2 =1ln2-1ln B

Passo 5

Para achar o limite quando Btoinfty, note que ln Btoinfty implica tfrac1ln Bto0. Logo,
limBtoinftyA(B)=1ln2

Resposta

A(B)=1ln2-1ln B, e
limBtoinftyA(B)=1ln2

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