Exercício 2.2.2. Mostre que:
Ia=integral d xx^2-x+1=2 raiz33 arctg[raiz33(2 x-1)]+C.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
Ia = integral dxx^2 - x + 1
Aqui vamos usar a técnica de completar o quadrado e o resultado padrão
integral duu^2 + a^2 = 1aarctan!l(tfracuar) + C

Passo 2

Completar o quadrado no denominador:
x^2 - x + 1 = l(x - tfrac12r)^2 + tfrac34

Passo 3

Fazemos a substituição
u = x - tfrac12, du = dx,
que transforma a integral em
Ia = integral duu^2 + l(tfracraiz32r)^2

Passo 4

Reconhecendo a forma padrão com a = tfracraiz32, obtemos
Ia = 1aarctan!l(uar) + C = 1tfracraiz32arctan!l(utfracraiz32r) + C = 2raiz3arctan!l(2uraiz3r) + C

Passo 5

Voltando à variável x (onde u = x - tfrac12):
2uraiz3 = 2(x - tfrac12)raiz3 = 2x - 1raiz3 = raiz33(2x - 1), 2raiz3 = 2raiz33
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Ia = 2raiz33,arctan!l[tfracraiz33(2x - 1)r] + C

Resposta

Ia = 2raiz33,arctan!l[tfracraiz33(2x - 1)r] + C

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