Exercício 2.2.1. Calcule as integrais:
Ic=integral 3 x-5x^2+2 x+2 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
Ic=integral 3x-5x^2+2x+2,dx
O conteúdo aqui é integração de fração racional cujo denominador é um polinômio quadrático irreduzível. Vamos usar duas ideias principais:
  1. decompor o numerador como múltiplo da derivada do denominador mais constante;
  2. completar quadrado no denominador para obter uma primitiva em termos de logaritmo e arco-tangente.

Passo 2

Definimos
D(x)=x^2+2x+2,
cuja derivada é
D'(x)=2x+2
Queremos escrever o numerador 3x-5 na forma
3x-5 = A,D'(x) + B = A(2x+2) + B

Passo 3

Igualando coeficientes em
2A,x + 2A + B = 3x - 5
temos o sistema
2A = 3, 2A + B = -5
Daí
A = tfrac32, 2cdot tfrac32 + B = -5 ;Longrightarrow; 3 + B = -5 ;Longrightarrow; B = -8

Passo 4

Substituindo na integral, fica
integral 3x-5D(x),dx = integral A,D'(x) + BD(x),dx = A integral D'(x)D(x),dx + B integral 1D(x),dx

Passo 5

  1. Para a primeira parte
A integral D'(x)D(x),dx = tfrac32 lnl|D(x)r| = tfrac32 lnl(x^2+2x+2r)
  1. Para a segunda parte, completamos o quadrado:
x^2+2x+2 = (x+1)^2 + 1,
então
integral dx(x+1)^2+1 = arctan(x+1)
Multiplicando por B=-8, obtemos -8,arctan(x+1).
Somando as duas partes e incluindo a constante de integração C, chegamos ao resultado final.

Resposta

Ic = 32,lnl(x^2+2x+2r) -8,arctan(x+1) + C

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