Exercício 2.2.1. Calcule as integrais:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
O conteúdo aqui é integração de fração racional cujo denominador é um polinômio quadrático irreduzível. Vamos usar duas ideias principais:
- decompor o numerador como múltiplo da derivada do denominador mais constante;
- completar quadrado no denominador para obter uma primitiva em termos de logaritmo e arco-tangente.
Passo 2
Definimos
cuja derivada é
Queremos escrever o numerador
na forma
Passo 3
Igualando coeficientes em
temos o sistema
Daí
Passo 4
Substituindo na integral, fica
Passo 5
- Para a primeira parte
- Para a segunda parte, completamos o quadrado:
então
Multiplicando por
B=-8 , obtemos
-8,arctan(x+1) .
Somando as duas partes e incluindo a constante de integração
C , chegamos ao resultado final.