Explicite soluções para as equações diferenciais abaixo, explicitando o domínio máximo de definição da solução em cada caso.
x+3 y-x y^prime=0;

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
x + 3y - x dydx = 0
que é linear em y. Vamos usar o método do fator integrante para resolver.

Passo 2

Reescrevendo em forma padrão y' + p(x),y = q(x), temos
- x dydx + 3y + x = 0 ;Longrightarrow; dydx - 3x,y = 1

Passo 3

O coeficiente de y é p(x)=-3/x. Calculamos o fator integrante
mu(x) = expl(integral p(x),dxr) = expl(integral -tfrac3x,dxr) = exp(-3lnlvert xrvert) = x^-3

Passo 4

Multiplicando a equação por mu(x)=x^-3, obtemos
x^-3dydx - 3x^-4y = x^-3
que é exatamente
ddxl(x^-3yr) = x^-3
Integrando em x,
x^-3y = integral x^-3,dx + C = -12x^2 + C

Passo 5

Isolando y,
y(x) = x^3l(-tfrac12x^2 + Cr) = C,x^3 - x2

Passo 6

A função f(x,y)= (x+3y)/x que define a ODE tem singularidade em x=0. Logo cada solução é definida em um intervalo que não contenha x=0.
Os domínios máximos de definição são
(-infty,0) ou (0,infty)

Resposta

A família geral de soluções é
y(x) = C,x^3 - x2,
com constante CinR, definida em cada um dos intervalos máximos (-infty,0) ou (0,infty).

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