Sejam p(n) e q(n) proposições abertas sobre números naturais. Assuma que a implicação p(n) Rightarrow q(n) é verdadeira, para todo n natural. Sabendo, em particular, que as proposições p(2) e q(3) são verdadeiras e que as proposições p(5) e q(7) são falsas, podemos afirmar categoricamente que:
c) q(5) é falsa?

Passo 1

Então, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos duas proposições, e , que dependem de um número natural . Sabemos que, para todo número natural , se for verdadeira, então também é verdadeira. Além disso, nos dão algumas informações específicas:
  • é verdadeira
  • é verdadeira
  • é falsa
  • é falsa
A pergunta é: Podemos afirmar categoricamente que é falsa?

Passo 2

Primeiro, vamos entender a implicação . Isso significa que sempre que for verdadeira, também será verdadeira. Mas o que acontece se for falsa? Nessa situação, a implicação continua verdadeira, independentemente do valor de .

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso ao caso específico de . Sabemos que é falsa. De acordo com a implicação , como é falsa, essa implicação é verdadeira independentemente de ser verdadeira ou falsa. Ou seja, pode ser tanto verdadeira quanto falsa, e a implicação ainda se mantém.

Passo 4

Portanto, a informação de que é falsa não nos dá informação suficiente para determinar se é verdadeira ou falsa. A implicação é satisfeita de qualquer jeito nesse caso.

Resposta

Não, não podemos afirmar categoricamente que é falsa.

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