1.Em um sistema gráfico 3D utilizado para modelagem computacional,um ponto P é representado no sistema de coordenadas definido pelos vetores:
b1=(1,2,0), b2=(0,1,1), b3=(2,0,1)
Sabendo que P=(5,4,3) ,determine as coordenadas de P na base B=b1, b2, b3

Passo 1

Resumo do enunciado: temos no espaço R^3 os vetores da base
b1=(1,2,0), b2=(0,1,1), b3=(2,0,1)
e o ponto P=(5,4,3) escrito na base canônica. Queremos as coordenadas de P na base B=b1,b2,b3. O conteúdo aqui é mudança de base: expressar P como combinação linear de b1,b2,b3 e resolver o sistema para os escalares.

Passo 2

Escrevo
x,b1+y,b2+z,b3=P
e igualo componente a componente para obter o sistema
x + 2z = 5, 2x + y = 4, y + z = 3

Passo 3

Da terceira equação ,y+z=3, isolamos
y = 3 - z
Substituindo em 2x + y = 4
2x + (3 - z) = 4 Longrightarrow 2x - z = 1 Longrightarrow z = 2x - 1

Passo 4

Agora coloco z=2x-1 na primeira equação x + 2z = 5:
x + 2(2x - 1) = 5 Longrightarrow x + 4x - 2 = 5 Longrightarrow 5x = 7 Longrightarrow x = tfrac75
Em seguida
z = 2l(tfrac75r) - 1 = tfrac145 - tfrac55 = tfrac95, y = 3 - z = 3 - tfrac95 = tfrac65

Resposta

As coordenadas de P na base B são
l[x,y,zr]B = l(tfrac75,,tfrac65,,tfrac95r)

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