Questão 28: Seja
o conjunto dos números reais. Defina a soma e a multiplicação por escalar por
e
, respectivamente. Verifique se
é ou não um espaço vetorial em relação a essas operações.
Questão 28: Seja
o conjunto dos números reais. Defina a soma e a multiplicação por escalar por
e
, respectivamente. Verifique se
é ou não um espaço vetorial em relação a essas operações.
Passo 1
O enunciado traz duas estruturas sobre
com operações não usuais e pede para verificar se cada uma forma um espaço vetorial. O conteúdo que precisamos usar são os axiomas de espaço vetorial sobre um corpo (aqui
), em particular:
- fechamento em soma e multiplicação por escalar;
- comutatividade e associatividade da soma;
- existência de elemento neutro e inverso aditivo;
- existência de elemento neutro escalar (
); - distributividade de
em relação a e a soma de escalares; - associatividade entre escalares.
Para mostrar que não é espaço vetorial basta encontrar pelo menos um axioma que falhe.
Passo 2
Estrutura (a): define-se
Verificamos associatividade da soma:
Como em geral
, a soma não é associativa.
Passo 3
Pelo fracasso da associatividade da soma, já concluímos que essa estrutura não é um espaço vetorial.
Passo 4
Estrutura (b): define-se
Procuramos o neutro aditivo
tal que para todo
valha
Isso exigiria
para todo
, ou seja,
seria um ínfimo de
. Mas não existe menor real; o candidato “
” não pertence a
. Logo não há elemento neutro para
.
Passo 5
Sem neutro aditivo, falha outro axioma essencial. Portanto, essa estrutura também não é um espaço vetorial.
Resposta
Em nenhum dos dois casos
com as operações dadas forma um espaço vetorial.