Questão 28: Seja R o conjunto dos números reais. Defina a soma e a multiplicação por escalar por u oplus v=u-v e alpha odot u=alpha u, respectivamente. Verifique se R é ou não um espaço vetorial em relação a essas operações.
Questão 28: Seja R o conjunto dos números reais. Defina a soma e a multiplicação por escalar por x oplus y= max (x, y) e alpha odot x=alpha x, respectivamente. Verifique se R é ou não um espaço vetorial em relação a essas operações.

Passo 1

O enunciado traz duas estruturas sobre R com operações não usuais e pede para verificar se cada uma forma um espaço vetorial. O conteúdo que precisamos usar são os axiomas de espaço vetorial sobre um corpo (aqui R), em particular:
  1. fechamento em soma e multiplicação por escalar;
  2. comutatividade e associatividade da soma;
  3. existência de elemento neutro e inverso aditivo;
  4. existência de elemento neutro escalar ( 1odot u = u);
  5. distributividade de odot em relação a oplus e a soma de escalares;
  6. associatividade entre escalares.
    Para mostrar que não é espaço vetorial basta encontrar pelo menos um axioma que falhe.

Passo 2

Estrutura (a): define-se
u oplus v = u - v, alpha odot u = alpha,u
Verificamos associatividade da soma:
(u oplus v) oplus w = (u - v) - w = u - v - w,
u oplus (v oplus w) = u - (v - w) = u - v + w
Como em geral u - v - w neq u - v + w, a soma não é associativa.

Passo 3

Pelo fracasso da associatividade da soma, já concluímos que essa estrutura não é um espaço vetorial.

Passo 4

Estrutura (b): define-se
x oplus y = max(x,y), alpha odot x = alpha,x
Procuramos o neutro aditivo e tal que para todo x valha
e oplus x = max(e,x) = x
Isso exigiria e <= x para todo xinR, ou seja, e seria um ínfimo de R. Mas não existe menor real; o candidato “ -infty” não pertence a R. Logo não há elemento neutro para oplus.

Passo 5

Sem neutro aditivo, falha outro axioma essencial. Portanto, essa estrutura também não é um espaço vetorial.

Resposta

Em nenhum dos dois casos R com as operações dadas forma um espaço vetorial.

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