Durante a conversão entre formatos gráficos, as coordenadas de um ponto mudam de base. Suponha que as bases envolvidas sejam:
B=(1,2,1),(2,1,0),(0,1,2), C=(2,0,1),(1,1,1),(1,-1,0)
Sabendo que [v]C=(2,-1,3), encontre [v]B.

Passo 1

No enunciado temos as bases B = (1,2,1),,(2,1,0),,(0,1,2) e C = (2,0,1),,(1,1,1),,(1,-1,0), além do vetor v cujas coordenadas em C são [v]C = (2,-1,3). Para encontrar [v]B vamos primeiro expressar v na base canônica e depois escrever em B.

Passo 2

Calculemos v na base canônica somando as combinações escalares dos vetores de C. Temos
v = 2,(2,0,1) + (-1),(1,1,1) + 3,(1,-1,0) = (6,-4,1)

Passo 3

Agora escrevemos v como combinação linear dos vetores de B. Se [v]B = (b1,b2,b3) então
b1(1,2,1) + b2(2,1,0) + b3(0,1,2) = (6,-4,1),
o que gera o sistema
b1 + 2b2 = 6, 2b1 + b2 + b3 = -4, b1 + 2b3 = 1
Da primeira equação b1 = 6 - 2b2 e da terceira b1 + 2b3 = 1 segue b3 = b2 - tfrac52. Substituindo na segunda equação obtemos
2(6 - 2b2) + b2 + l(b2 - tfrac52r) = -4,
que leva a b2 = tfrac274, daí b3 = tfrac174 e b1 = -tfrac152.

Resposta

[v]B = l(-tfrac152,,tfrac274,,tfrac174r).

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